Координати на площині. Рівняння прямої. Рівняння кола. Розв’язування задач. Самостійна робота.

Мета уроку:

• узагальнити і систематизувати знання, уміння і навички учнів з теми формувати вміння учнів застосовувати вивчені означення та властивості до розв’язування задач;
• розвивати вміння бачити закономірності, міркувати за аналогією; уміння об’єктивно оцінювати свої результати та результати інших;

• виховувати працелюбність, реалізуючи принципи виховання в колективі і через колектив, культуру математичної мови.

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: опорний конспект.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

 Перевірка домашнього завдання

Слухаємо повідомлення учнів: доведення теорем про пряму та коло Ейлера. Як один із варіантів доведення може бути наступним.

Пряма Ейлера. Проведемо через вершини трикутника  АВС прямі, паралельні сторонам трикутника, до їх взаємного перетину в  точках , , .Тоді АВ С,АВС , СА В-паралелограми,отже, В =В =АС, С= С=ВА. Відрізки А ,В ,С  є діагоналями цих паралелограмів і отже , поділяють відповідно сторони ВС, АС, АВ навпіл. Тоді  ці відрізки перетинаються в  точці М перетину медіан трикутника АВС і
= – . Отже, при

гомотетії з центром у  точці М і  коефіцієнтом к= –  трикутник АВС переходить у  трикутник . З теореми про прямі , які містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці випливає, що точку Н перетину висот дана гомотетія переводить у  центр О кола, описаного навколо трикутника АВС. Отже, точки М, О, Н лежать на  одній  прямій, причому точка М лежить між точками О та  Н і МН=2МО.

Коло Ейлера.

Нехай у  трикутнику АBC
– середини відповідно сторін ВС, АC, АB; точки На, Нb, Hc- основи висот; точки Ea, Eb, Ec ділять навпіл відповідно відрізки АН, ВН, СН. Оскільки
– середня лінія трикутника АВС, то
= . Відрізок НаС1 є медіаною прямокутного трикутника АнаВ. Отже, На =  і =НаС1. Тоді  трапеція На  має рівні бічні сторони
і На ,тобто є рівнобічною. Отже , точка На лежить на  колі, описаному  навколо трикутника .Аналогічно на  цьому колі лежать  точки Нb і Нс.

Зазначимо, що Еb || АНс, оскільки Еb- середня лінія трикутника АВН, а ||ВС. Тоді Еb . Аналогічно Еb . Отже у  чотирикутнику Еb  два протилежні кути Еb  і Еb  прямі. Це означає, що навколо нього описано те  коло, яке ми розглядаємо, тому  точка Еb лежить на  ньому. Аналогічно доводиться, що на цьому колі лежать також точки Еа, Ес.

ІV. Актуалізація опорних знань

Запитання до класу

• Що таке осі координат?
• Як називається вісь х?
• Як називається вісь у?
• Що таке координатна площина?
• Як записуються координати точки?
• Що таке координатні чверті? Які знаки в цих чвертях?
• Які абсциси мають точки осі ординат?
• Які ординати мають точки осі абсцис?

Повторення основних формул

1. Координати середини відрізка:  ;      .
2. Відстань між двома точками:

.

3. Рівняння кола: АО² = (х – а)² + (у – b)² = R²

О(а; b) – центр

О(0; 0): х² + у² = R²– рівняння кола з центром в початку координат.

4. Рівняння прямої :

• y = kx + b – з кутовим коефіцієнтом k.

Якщо  k₁ = k₂ и b₁ ¹ b₂, то прямі y = k₁x + b₁ и  y = k₂x + b₂  паралельні.

Якщо k₁  k₂ = -1, то прямі перпендикулярні.

• – загальне рівняння прямої

Якщо , то прямі   та  перетинаються.

Якщо  – паралельні.

Якщо – співпадають.

• – рівняння прямої, що проходить через дві різні точки.
• – рівняння прямої в відрізках (a і b показують, які відрізки пряма відтинає на рсях координат).

V. Узагальнення і систематизація умінь і навичок

1. Розв’язування усних вправ

• Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо А(1; 2), В(3; 4).
• Назвіть координати центра і радіус кола, яке задане рівнян­ням:
• (x – 1)² + y² = 4;
• (х – 2)² + (у + 2)² = 1;
• (x + 1)² + (y + 1)² = 2;
• х² + у² = 7.
• Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:
• ; ( )
• ;
• ;
• ;
• ;
• .

2. Письмове розв’язування вправ

Задача 1. Знайдіть координати точки М, яка лежить на осі Ох і рівновіддалена від точок А(-4; 7) і В(8; 3). (Відповідь. М .)

Задача 2. У площині прямокутника ABCD задано точку М. Доведіть, що МА² + МС² = = MB² + MD².

Доведення

Нехай ABCD — даний прямокут­ник. Введемо прямокутну систему ко­ординат так, як показано на рисунку. Нехай А(0; 0), В(0; а), D(b; 0), C(b; a),      М (х; у) — довільна точка площини.

Тоді MA² + MC² = (x – 0)² + (y – 0)² + (x – b)² + (y – a)² =

= х² + у² + (x – b)² + (y – a)²;

MB² + MD² = (х – 0)² + (y – a)² + (x – b)² + (y – 0)² = = x² + y² + (x – b)² + (y – a)²= MA² + MC².

Отже, MA² + MC² = MB² + MD².

Задача 3. Дано координати вершин трикутника ABC: A(4; -2), В(1; 2), С(-3; 6). Знайдіть координати точки F, яка є серединою ме­діани трикутника ABC, проведеної з вершини А. (Відповідь. F(1,5; 1).)

Задача 4. Дано вершини трикутника А(5; -4), В(-1; 4), С(5; 4). Зна­йдіть периметр трикутника ABC та градусну міру найбільшо­го його кута.

(Відповідь. 24; 90°.)

Задача 5. Запишіть рівняння кола, описаного навколо трикутни­ка ABC, якщо      A(5; -1), B(-1; 7), C(-1; -1). (Відповідь. (х – 2)² + (у – 3)² = 25.)

Задача 6. Знайдіть центр і радіус кола, яке задане рівнянням:

а) х² + у² – 6х – 2у – 15 = 0;   б) х² + у² – 8х + 10у + 40 = 0.

Задача 7.  Скласти рівняння прямої, що проходить через точки :

и ; 2)  и .

Розв’язання

• Оскільки точки и  мають рівні абсциси, то пряма  буде паралельною до осі ОУ і її рівняння матиме  вид .

Відповідь: .

• Підставимо координати точок та  до рівняння , отримаємо систему рівнянь

–

^{____________________}

,

, ,

, .

Відповідь: .

Задача 8. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку  та паралельна прямій .

Розв’язання

Складемо рівняння у вигляді . Оскільки ця пряма паралельна прямій , то їх кутові коефіцієнти рівні   . Враховуючи, що пряма проходить через точку ,отримаємо: . Тоді  рівняння прямої .

Відповідь: .

Задача 9. Загальне рівняння прямої  привести до виду рівняння у відрізках.

Відповідь: .

Задача 10. Скласти рівняння прямої яка проходить через точки  та .

Відповідь: .

3. Самостійна робота

Варіант 1

1. Знайдіть координати центра кола з діаметром АВ, якщо А(1; 5), В(3; 1). Складіть рівняння кола.
2. Знайдіть периметр і діагоналі чотирикутника ABCD, якщо A(-3; 1), B(-1; 3), C(1; 1), D(-1; -1).
3. Знайдіть координати точок перетину кола (x – 1)² + (у – 3)² = 2 з прямою х = 2.
4. Складіть загальне рівняння прямої, що проходить через точки А(1; -2) і В(3; 2).
5. Знайдіть площу чотирикутника ABCD, якщо А(-1; 3), В(1; 5), С(3; 3), D(1; 1).

Варіант 2

1. Знайдіть координати центра кола, діаметр якого АВ і А(1; 6), В(5; 4). Складіть рівняння кола.
2. Обчисліть периметр і діагоналі чотирикутника ABCD, якщо А(-2; 2), В(0; 4), С(2; 2), D(0; 0).
3. Знайдіть координати точок перетину кола (x – 1)² + (у – 3)² =2 з прямою y = 4.
4. Складіть загальне рівняння прямої, що проходить через точки А(-1; 3) і В(3; 2).
5. Знайдіть площу чотирикутника ABCD, якщо А(-3; 1), В(-1; 3), C(1; 1), D(-1; -1).

Відповіді та розв’язання

Варіант 1

1. х₀ = = 2, у₀ = = Отже, координати центра кола (2; 3).

(х – 2)² + (у -3)² = 20 – рівняння кола.

Відповідь. (2; 3), (х – 2)² + (у -3)² = 20 – рівняння кола.

2. АВ = = , ВС =  =

 CD =  = , AD =  = .

P_ABCD  = 4  = 8 .

АС =  = 4, BD = = 4.

Відповідь. 8 ; 4 і 4.

3. Якщо х = 2, тоді (2 – 1)² + (y – 3)² = 2; (у – 3)² = 1; y – 3 = 1 або у – 3 = -1; у = 4 або y = 2. Отже, (2; 4) і (2; 2) — точки пере­тину кола і прямої.

Відповідь. (2; 4), (2; 2).

4. Відповідь. 2х – у – 4 = 0.
5. Координати середини АС — М(1; 3), а координати середини BD — N(1; 3). Оскільки точки M i N збігаються, то ABCD — паралело­грам.

АС =  = 4, BD =  = 4. Оскільки AC = BD, то ABCD — прямокутник.

AB =  = , BC = = , тоді

S_ABCD = AB ∙ BC =  ∙  = 8.

Відповідь. 8.

Варіант 2

1. х₀ = , у₀ = . Отже, координати центра кола (3; 5).

(х – 3)² + (у -5)² = 26 – рівняння кола.

Відповідь. (3; 5), (х – 3)² + (у -5)² = 26.

2. AB = = , BC = = ,

CD = = , AD = = .

P_ABCD = 4  = 8 . AС =  = 4, BD = = 4.

Відповідь. 8 ; 4 і 4.

3. Якщо y = 4, тоді (x – 1)² + (4 – 3)² = 2; (x – 1)² = 1; х – 1 = 1 або х – 1 = -1; х = 2 або x = 0. Отже, (-1; 4) і (0; 4) — точки перетину кола і прямої.

Відповідь. (-1; 4), (0; 4).

4. х + 4у + 3 = 0
5. Координати середини АС — М(-1; 1), координати сере­дини BD — N(-1; 1). Оскільки середини АС і BD збігають­ся, то ABCD — паралелограм.

АС = = 4, BD =  = 4. Оскільки AC = BD, то ABCD — прямо­кутник.

АВ = = , ВС = = .

Відповідь. 8.

V. Підведення підсумків. Виставлення оцінок.

Ще раз по конспектах повторюємо основні положення.

VІ. Домашнє завдання.

Повторити матеріал підручника  1 (стор.14-15). Розв’язати тест на стор.23, №№43, 73.