Скалярний добуток векторів.

Мета уроку:

• сформувати поняття скалярного добутку векторів, кута між векторами, перпендикулярності двох векторів; формувати вміння застосову­вати вивчені означення і властивості до розв’язування задач;
• розвивати пам’ять, увагу;
• виховувати культуру усного та писемного мовлення та міжособистісного спілкування.

Тип уроку: засвоєння нових знань

Хід уроку

І. Організаційний етап

Налаштовую учнів на роботу на уроці

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпові­сти на запитання, які виникли в учнів під час їх виконання.

2. Фронтальне опитування

Інтерактивна вправа «Незакінчене речення»

• вектор – це…
• щоб знайти координати вектора, треба…
• модуль вектора – це…
• рівні вектори – це…
• колінеарні вектори – це…
• щоб знайти координати суми двох векторів, треба…
• щоб знайти координати різниці двох векторів, треба…
• щоб з’ясувати колінеарність двох векторів, треба…

ІV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

1. Бесіда

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток двох векторів, які задано координатами, називається число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат.

Якщо задано вектори (a₁; a₂) і (b₁; b₂) на площині, то ·= а₁b₁ + а₂b₂.

Скалярним добутком векторів  і  (позначення: (·), або , або   (; )) називається добуток довжин цих векторів на ко­синус кута між ними, тобто · = || · ||cosφ (рис. 1).

Два ненульові вектори тоді і тільки тоді взаємно перпен­дикулярні, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто     ·  = 0 (  , ).

Властивості скалярного добутку

• ·= ·(переставний закон);
• ² = ||², або || = = ;
• (+ ) ·  = · + · (розподільний закон);
• (λ) · = λ(·) (сполучний закон).

Примітка 1. Косинус кута між ненульовим векторами  та  виражається формулою , яка випливає з означення скалярного добутку.

Примітка 2. Властивість 2 скалярного добутку, а саме фор­мула || = = =, дозволяє обчислювати довжину вектора в загальному випадку.

Примітка 3. Розподільний закон справджується для будь-якого скінче-нного числа доданків. Наприклад, правильна форму­ла ( +  + ) ·  = · + · + ·.

2. Розв’язування тренувальних вправ

• Знайти скалярний добуток векторів: №626, 627
• Знайти кут між векторами: №629
• Доведіть, що вектори перпендикулярні: №630

V. Формування умінь і навичок

1. Доведіть, що вектори (т; п) і (-n; m) перпендикулярні
2. Дано вектори і . Знайдіть абсолютну величину вектора  + , якщо  || = || = 1, а кут між векторами  і  дорівнює 60°.
3. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 13. Зна­йдіть скалярний добуток ·(рис. 2).
4. Задано вектори =  – 4,  = 3 + 2, які взаємно перпендику­лярні. Вектори  і  — одиничні вектори. Знайдіть кут між векторами  і  (в градусах).

Розв’язання

Оскільки || = 1 і  ·  = 0, то маємо · = ( – 4)(3 + 2) =

= 3² + 2– 12 – 8b² =  3 · ||² – 10|||| соsφ – 8||² =

= 3 – 10cosφ – 8  = – 5 – 10cosφ, тоді – 5 – 10cosφ = 0, соsφ = -, φ = 120°.

Відповідь. 120°.

VІ. Домашнє завдання

1. Вивчити п.18.2
2. Повторити прямокутну систему координат на площині.
3. Розв’язати №№628, 631

VIІ. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу

1. Дайте означення скалярного добутку векторів та сформулюй­те властивості скалярного добутку векторів.
2. Сформулюйте властивість і ознаку перпендикулярних векторів.