Заняття 8. Дії з одночленами і многочленами. Степінь

Дана публікація містить означення одночлена, многочлена, степеня з натуральним і цілим показником, дії з многочленами і одночленами, властивості степеня з довільним показником з прикладами розв’язання та практичною частиною.

Заняття 8. Дії з одночленами і многочленами. Степінь з натуральним показником

Одночлени. Степінь одночлена

Означення Приклади
Одночленом називається добуток чисел, змінних і їх натуральних степенів, а також самі числа, змінні і їх степені.Число 0 називається нульовим одночленом.
Степенем одночлена називається сума показників змінних, що входять в одночлен.Якщо одночленом є число, не рівне нулю, то його степінь вважається рівним нулю.Число 0 степеня не має. 3а5b2c3 – одночлен десятого степеня(5 + 2 + 3 = 10);5ах3 – одночлен четвертого степеня(1 + 3 = 4);

7 – одночлен нульового степеня (7 х 0).

Якщо в запис одночлена входить змінна х в степені k (x k), то говорять, що це одночлен має по х (або щодо х) степінь k. 5ах3- одночлен третього степеня щодо змінної х.
Одночлен записаний в стандартному вигляді,якщо перший його множник є число, коефіцієнт одночлена, а далі стоять змінні в деяких степенях, розташовані за алфавітом (латинським або грецьким). 4a2b3y3; 6a5b2c6;  – 3xy3z4; 4a2b3j3 -одночлени в стандартному вигляді
Одночлени називаються подібними, якщо вони рівні між собою або відрізняються лише своїми коефіцієнтами. - подібні одночлени
Дії над одночленами
Додавання і віднімання 3а3 + ab + b2 + 5a3 – 3ab = 8a3 – 2ab + b2.
Множення (4a3b2c) × ( – 2a4bd) =  – 8a7b3cd.
Зведення до степеня (2x2y)3 = 23 × (x2)3y3 = 8x6y3.
Ділення

 

Види многочленів

Означення Приклади
Многочленом називається алгебраїчна сума кількох одночленів. 5ху2 – 3ур3 + 4ху.
Многочлен, що складається з двох членів, називається двочленом. х2 + аах + 3,5с4.
Многочлен, який складається з трьох членів, називається тричленом. х + 5ху3 + 6.
Одночлен вважається окремим випадком многочлена. 15d2m7n.
Якщо всі члени многочлена записані в стандартному вигляді і виконано зведення подібних доданків, то отриманий многочлен стандартного вигляду. 3a × 5b + 3abb = 15ab + 3abb = 18abb.

Дії з многочленами

Означення Приклади
Додавання і віднімання
При додаванні і відніманні многочленів користуються правилами розкриття дужок. (2ab – 5c) + (3a2b + 3c) = 2ab – 5c + 3a2b + 3c == 3a2b + 2ab – 2c;(2ab – 5c) – (3a2b + 3c) = 2ab – 5c – 3a2b – 3c == – 3a2b + 2ab – 8c;
Множення і ділення
Щоб помножити одночлен на многочлен, перемножають кожний член многочлена на одночлен і результати додають. 6х(х3 – 2) = 6х × х3 – 6х × 2 = 6х4 – 12х.
Щоб помножити многочлен на многочлен, перемножають кожний член першого многочлена на кожний член другого многочлена і отримані результати додають. (2a b) × (3a – 4b) = 6a2 – 8ab – 3ab + 4b2 == 6a2 – 11ab + 4b2
Щоб поділити многочлен на одночлен, треба розділити на цей одночлен кожний член многочлена і отримані частки додати.

 

Степінь з натуральним і цілим показником

Означення Приклади
an = a × a × … a              a Î R
n разів                  n  N, n ³ 2
33 = 3 × 3 × 3 = 27; (– 5)2 = (– 5) × (– 5) = 25;(– 10)0 = 1;     00 – не визначено;0– 3 – не визначено.

 

Властивості стспеня з довільним показником

am × an = am + n 25 × 23 = 25 + 3 = 28 am + n = am × an
(am)n = amn (25)3 = 215 amn = (am)n = (an)m
(ab)n = an × bn (2 × 3)4 = 24 × 34 = 16 × 81 = 1296 an × bn = (ab)n

 

 

 

Практична частина

 

  1. Спростити вирази:
  2. Звести до стандартного вигляду одночлени:

3.Подати, якщо можливо, у вигляді квадрата одночлена:

а) 0,49х10у6;     б)  – 100а2b6;     в) 289а10с8.

  1. Подати, якщо можливо, у вигляді куба одночлена:
  2. Знайти алгебраїчну різницю многочленів:

а) 0,1х2 + 0,002у2 и 0,17х2 – 0,08у2;        б) 0,1х2 – 0,02у2 и – 0,17х2;

в) а3 – 0,12b3 и 0,39а3b3;                      г) а3 + 0,12b3 и 0,39а3 + b3.

  1. Виконати множення:
  2. Спростити:

а) (х3 – 3х + 4)5х – (2х2 + 5х – 8)3х;                     г) (хуа)(ху);

б) 10а2 – (а – 2b)4a + 2b(3b – 4a) – 6b2;              д) (ха)(хb)(xc);

в) 8а2(b – 3) – 4aaa – 5a2a + (a3 + 4b);                ж) (х2 + х + 1)(х2х + 1)(х2 – 1).

  1. Записати у вигляді виразу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прикріплені файли

Напишіть відгук

Ваша пошт@ не публікуватиметься. Обов’язкові поля позначені *