Заняття 9. Розкладання многочлена на множники

Дана публікація містить формули скороченого множення, способи розкладання многочлена на множники з прикладами розв’язання та практичною частиною.

Заняття 9. Формули скороченого множення

Квадрат суми

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Квадрат різниці

(ab)2 = a2 – 2ab + b2

Різниця квадратів

a2b2 = (ab)(b + a)

Куб суми

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Куб різниці

(ab)3 = a3 – 3a2b + 3ab2b3

Сума кубів

a3 + b3 = (a + b)(a2ab + b2)

Різниця кубів

a3b3 = (ab)(a2 + ab + b2)

 

Розкладання многочлена на множники – це перетворення алгебраїчної суми одночленів на добуток. Є три основні способи.
Правила Приклади
Винесення спільного множника за дужки:
а) знайти спільний множник;

б) розділити на нього кожний член  многочлена і отриману суму взяти в дужки;

в) записати добуток спільного множника на отриману суму.

18a5b2 – 14a4b3 = 2a4b2(9a – 7b).
Якщо при винесенні за дужки спільний множник виноситься зі знаком «мінус», то знаки доданків в дужках змінюються на протилежні. ау + by + cy = – y(abс).
Спосіб групування:
а) об’єднати члени многочлена в такі групи, які мають спільний множник;

б) винести цей спільний множник за дужки.

2a + bc + 2b + ac = (2a + 2b) + (bc + ac) =

= 2(a + b) + c(b + a) = (a + b)(2 + c).

Використання формул скороченого множення
Для розкладання многочлена на множники використовують відомі формули. 25x2 – 4y2 = (5x – 2y)(5x + 2y).

x2 + 16xy + 64y2 = (x + 8y)(x + 8y) = (x + 8y)2.

Практична частина

  1. Винесіть спільний множник за дужки.

а) 2m + 2n;      г) 6х4 – 24х2;          ж) 21ху – 14хс + 70ах;      к) х(1 – у) – у(у – 1);

б) 15у – 15;     д) – 10а – 15b;       з) а(х + у) + с(х + у);         л) a + b + с(a + b);

в) х8у7;         е) а4 + а6а8;        и) (у – 5) + а(у – 5);          м) (х + у)2 + х + у;

н) х + 2а(ху) – у;   о) х2у2 + х + у;    п) 2а(х – 1) – 3(х – 1) + с(х – 1);

р) (a2+ b2) – a2(b2 + a2);  c) (x + y)3x(x + y)2; т) 5х(a + bс) – 4y(a + bс) – 3z(a + bс);  у) (6х2 – 5у) + (5у – 6х2) 7х – (6х2 – 5у)4у;  ф) (х2х – 1)(у + 2) + (1 + хх2)(у + 12);  х) (4а – 7х)5а + 8х(7х – 4а) – (4а – 7х).

  1. Розкладіть многочлени на множники, використовуючи спосіб групування.

а) 18а2 – 27ab + 14ac – 21bc;             г)  – 24ах – 15с2 + 40ас + 9сх;

б) – 28ас + 35с2 – 10сх + 8ах;            д) 139 × 15 + 18 × 139 + 15 × 261 + 18 × 261;

в) 48ха2 + 32ху2 – 15уа2 – 10у3;          е) 125 × 48 – 31 × 82 – 31 × 43 + 125 × 83.

3 Розкладіть многочлени на множники, застосувавши формули скороченого множення.

а) с2а2 – 16;       б) а4 – 16;       в) 81а2х6;       г) 100у10 – 4х2;

д) 1 – b8;           е) х2у4 – 49;     ж) 4 – 100a8;     з) х4 + 2х2у + у2;

и) 4у4 – 12у2 + у2;  к) 25а4 + 10а2b + b2;   л) 1 – (х2 + у2)2;   м) – х2 – 2х – 2;

н) 4аа2 – 4;  о) х4 + 2х2у4 + у8;  п) х6у2 – (ху)2;  р) (5с + а)2 – 9(ас)2;

с) (2р – 3)3 + 1;  т) х2 – 1 + 2ху + у2;    у) хух2 + у2;  ф) 1 – а2 – 2abb2;

х) (а2 + 2а + 1)2 – 25;   ц) у5у3 + у3 – 1;  ч) (a + b)2 + 2(a + b)(ab) + (ab)2.

  1. Довести, що вираз 85 + 213 ділиться на 10.
  2. Довести, що вираз 96 – 310 ділиться на 24.
  3. Спростіть і обчисліть, якщо х = – 3:

а) 2 – (х – 1)(х + 1);    б) 5 – (2 + х)(2 – х).

  1. Довести тотожність:

а) 3х(1 – 2х)(2х + 1) = 3х – 12х3;                  г) 3х3(2х2 + 5)(5 – 2х2) = 75х3 – 12х7;

б) 2х(2 – 3х)(3х + 2) = 8х – 18х3;                  д) х5 + 1 = (х + 1)(х4х3 + х2х + 1);

в) 2х2(4х2 – 3)(3 + 4х2) = 32х6 – 18х2;           е) х4 – 1 = (х + 1)(х3х2 + х – 1).

  1. Довести, що при будь-яких значеннях х і у значення виразу невід’ємне:

а) 4х2 – 20ху + 25у2;    б) 9х2 + 24ху + 16у2.

  1. Довести, що при будь-яких значеннях х вираз приймає додатне значення:

а) х2 – 10х + 29;         б) х2 + 8х + 19.

 

 

Прикріплені файли

Напишіть відгук

Ваша пошт@ не публікуватиметься. Обов’язкові поля позначені *