Подібність фігур. Площі подібних фігур.

Мета уроку:

  • формувати поняття подібності фігур; вивчити теореми про площі подібних фігур; формувати вміння застосову­вати вивчені означення і властивості до розв’язування задач;
  • розвивати уміння лаконічно й математично грамотно висловлювати свою думку;
  • виховувати культуру усного та писемного мовлення та міжособистісного спілкування.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

  1. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпові­сти на запитання, які виникли в учнів під час їх виконання.

  1. Фронтальна бесіда
  • Що таке перетворення подібності?
  • Що таке гомотетія? центр гомотетії? коефіцієнт гомотетії?
  • Сформулюйте відомі вам властивості перетворення подібності.

ІV. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

  1. Поняття подібності фігур

Фігури F і F1 називаються подібними, якщо кожній точці фігури F можна поставити у відповідність точку фігури F1 так, що для довільних точок X і Y фігури F і відповідних точок X1 і Y1 фігури F1 виконується умова , де k — те саме додатне число для всіх точок. При цьому передбачається, що кожна точка фігури F1 має бути поставлена у відповідність якій-небудь точці фігури F. Число k називається коефіцієнтом подібності (рис.1).

Іншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подіб­ність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціаль­ним знаком: . Запис F  F1 читається як «фігура F подібна фігурі F1».

З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — по­дібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).

  1. Властивості подібних фігур
  • Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1). FF
  • Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1 подібна фігурі F з коефіцієнтом .
  • Якщо фігура F1 подібна фігурі F2 з коефіцієнтом подібно­сті k1, а фігура F2 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подіб­ності k2, то фігура F1 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом по­дібності k1· k2.
  • Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіці­єнта подібності.

Доведемо цю властивість для многокутників.

Нехай F і F — це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S— їхні площі (рис. 2).

З’ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб’ємо n-кутник F на п трикутників Δ1, Δ2, …, Δп, сума площ яких дорівнює S.

Перетворення подібності, яке переводить F у F, переводить ці трикутники у трикутники , , …, , сума площ яких до­рівнює S.

Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і ви­соти трикутників Δ1, Δ2, …, Δn дорівнюють a1 і h1, а2 і h2, …, ап і hп, то основи і висоти трикутників , , …, дорівнюють відповідно ka1 і kh1, ka2 і kh2, …, kan і khn. Тоді

S = ka1 · kh1 + ka2 · kh2 + … + kan · khn =

= k2= k2S.

Оскільки S’ = k2S,.

Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадра­ти їхніх відповідних лінійних розмірів.

Розв’язування вправ

  1. Наведіть приклади подібних фігур.
  2. Чи подібні будь-які рівні фігури?
  3. Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні?
  4. Про дві фігури відомо, що F2 F1 і F1  F2 з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F1 і F2?
  5. Згадайте означення подібних трикутників.
  6. Сформулюйте ознаки подібності трикутників.

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

  1. Коментоване розв’язування задач: №№490, 500.
  2. Додаткові задачі

1)Площі двох квадратів відносяться як 3 : 5. Чому дорівнює сторона меншого квадрата, якщо сторона більшого квадрата дорівнює 10 см? (Відповідь.  (см).)

2)Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як а : b. Площа першого многокутника дорівнює S. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. .)

3)Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різ­
ниця площ дорівнює 864 см2. Знайдіть площі многокутників.

Розв’язання

Нехай S см2 — площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см2 — площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо , тоді             49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см2.

Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см2, а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см2).

Відповідь. 900 см2 і 1764 см2.

VІ. Домашнє завдання

  1. Вивчити теоретичний матеріал 14, п.14.2. Самостійно опрацювати п.14.3. Повторити розв’язування трикутників.
  2. Розв’язати задачі №491, 501

VІІ. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу

  1. Сформулюйте властивості подібних фігур.
  2. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних фігур.
  3. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ? (Відповідь. 1 : )
  4. Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? (Відповідь. а2 : b2.)

 

Прикріплені файли

Напишіть відгук

Ваша пошт@ не публікуватиметься. Обов’язкові поля позначені *