Заняття 9. Розкладання многочлена на множники
Дана публікація містить формули скороченого множення, способи розкладання многочлена на множники з прикладами розв’язання та практичною частиною.
Заняття 9. Формули скороченого множення
| Квадрат суми
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Квадрат різниці
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 |
| Різниця квадратів
a2 – b2 = (a – b)(b + a) |
| Куб суми
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Куб різниці
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 |
| Сума кубів
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) |
| Різниця кубів
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) |
| Розкладання многочлена на множники – це перетворення алгебраїчної суми одночленів на добуток. Є три основні способи. | |
| Правила | Приклади |
| Винесення спільного множника за дужки: | |
| а) знайти спільний множник;
б) розділити на нього кожний член многочлена і отриману суму взяти в дужки; в) записати добуток спільного множника на отриману суму. |
18a5b2 – 14a4b3 = 2a4b2(9a – 7b). |
| Якщо при винесенні за дужки спільний множник виноситься зі знаком «мінус», то знаки доданків в дужках змінюються на протилежні. | – ау + by + cy = – y(a – b – с). |
| Спосіб групування: | |
| а) об’єднати члени многочлена в такі групи, які мають спільний множник;
б) винести цей спільний множник за дужки. |
2a + bc + 2b + ac = (2a + 2b) + (bc + ac) =
= 2(a + b) + c(b + a) = (a + b)(2 + c). |
| Використання формул скороченого множення | |
| Для розкладання многочлена на множники використовують відомі формули. | 25x2 – 4y2 = (5x – 2y)(5x + 2y).
x2 + 16xy + 64y2 = (x + 8y)(x + 8y) = (x + 8y)2. |
Практична частина
- Винесіть спільний множник за дужки.
а) 2m + 2n; г) 6х4 – 24х2; ж) 21ху – 14хс + 70ах; к) х(1 – у) – у(у – 1);
б) 15у – 15; д) – 10а – 15b; з) а(х + у) + с(х + у); л) a + b + с(a + b);
в) х8 – у7; е) а4 + а6 – а8; и) (у – 5) + а(у – 5); м) (х + у)2 + х + у;
н) х + 2а(х – у) – у; о) х2 – у2 + х + у; п) 2а(х – 1) – 3(х – 1) + с(х – 1);
р) (a2+ b2) – a2(b2 + a2); c) (x + y)3 – x(x + y)2; т) 5х(a + b – с) – 4y(a + b – с) – 3z(a + b – с); у) (6х2 – 5у) + (5у – 6х2) 7х – (6х2 – 5у)4у; ф) (х2 – х – 1)(у + 2) + (1 + х – х2)(у + 12); х) (4а – 7х)5а + 8х(7х – 4а) – (4а – 7х).
- Розкладіть многочлени на множники, використовуючи спосіб групування.
а) 18а2 – 27ab + 14ac – 21bc; г) – 24ах – 15с2 + 40ас + 9сх;
б) – 28ас + 35с2 – 10сх + 8ах; д) 139 × 15 + 18 × 139 + 15 × 261 + 18 × 261;
в) 48ха2 + 32ху2 – 15уа2 – 10у3; е) 125 × 48 – 31 × 82 – 31 × 43 + 125 × 83.
3 Розкладіть многочлени на множники, застосувавши формули скороченого множення.
а) с2а2 – 16; б) а4 – 16; в) 81а2 – х6; г) 100у10 – 4х2;
д) 1 – b8; е) х2у4 – 49; ж) 4 – 100a8; з) х4 + 2х2у + у2;
и) 4у4 – 12у2 + у2; к) 25а4 + 10а2b + b2; л) 1 – (х2 + у2)2; м) – х2 – 2х – 2;
н) 4а – а2 – 4; о) х4 + 2х2у4 + у8; п) х6у2 – (х – у)2; р) (5с + а)2 – 9(а – с)2;
с) (2р – 3)3 + 1; т) х2 – 1 + 2ху + у2; у) х – у – х2 + у2; ф) 1 – а2 – 2ab – b2;
х) (а2 + 2а + 1)2 – 25; ц) у5 – у3 + у3 – 1; ч) (a + b)2 + 2(a + b)(a – b) + (a – b)2.
- Довести, що вираз 85 + 213 ділиться на 10.
- Довести, що вираз 96 – 310 ділиться на 24.
- Спростіть і обчисліть, якщо х = – 3:
а) 2 – (х – 1)(х + 1); б) 5 – (2 + х)(2 – х).
- Довести тотожність:
а) 3х(1 – 2х)(2х + 1) = 3х – 12х3; г) 3х3(2х2 + 5)(5 – 2х2) = 75х3 – 12х7;
б) 2х(2 – 3х)(3х + 2) = 8х – 18х3; д) х5 + 1 = (х + 1)(х4 – х3 + х2 – х + 1);
в) 2х2(4х2 – 3)(3 + 4х2) = 32х6 – 18х2; е) х4 – 1 = (х + 1)(х3 – х2 + х – 1).
- Довести, що при будь-яких значеннях х і у значення виразу невід’ємне:
а) 4х2 – 20ху + 25у2; б) 9х2 + 24ху + 16у2.
- Довести, що при будь-яких значеннях х вираз приймає додатне значення:
а) х2 – 10х + 29; б) х2 + 8х + 19.