Заняття 16. НЕРІВНОСТІ

Дана публікація містить означення числової, лінійної, квадратної нерівності, а також системи нерівностей, розв’язка нерівності та системи нерівностей, розглядаються алгоритми розв’язання нерівностей і  систем  з прикладами розв’язання та практичною частиною

Заняття 16. Розв’язування нерівностей

Лінійні нерівності

Означення
Лінійною називається нерівність виду ах > b (або, відповідно, ах < b, ax ³ b, ах £ b), де а ¹ 0, и b ¹ 0 – числа.
Розв’язком нерівності з однією змінною називається множина таких значень змінної, які обертають його в правильну числову нерівність.
1.   Якщо а0, то розв’язок нерівності ах > b має вигляд .

2.   Якщо а0, то розв’язок нерівності ах > b має вигляд .

3.      Якщо а = 0, то нерівність ах > b приймає вигляд 0х > b, тобто вона не має розв’язків при b ³ 0 і верна при будь-яких х, якщо b < 0.

При розвязуванні нерівностей використовуються наступні властивості
Властивості Приклади
1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то вийде рівносильна йому нерівність 4(у – 1) + 7 £ 1 – 3(у + 2);

4у – 4 + 7 £ 1 – 3у – 6;

4у + 3у £ 1 – 6 + 4 – 7.

2. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме додатне число, то вийде рівносильна йому нерівність

7у £ – 8

 

-1

 

 

 

3. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то вийде рівносильне йому нерівність – 3х + 8 < 2x – 2;    – 3x – 2x <  – 8 – 2;

– 5х < – 10,

х > 2,                          о

2                             (2; + ¥)

 

Оцінка суми, різниці, добутка, частки

1.             а £ х £ b

 
c £ y £ d

        a + с £ х + у £ b + d

3.             а £ х £ b

 
c £ y £ d

             aс £ ху £ bd

 

(a > 0);

(c > 0).

2.             а £ х £ b

 
c £ y £ d

        ad £ ху £ bc

4.             а £ х £ b

 
c £ y £ d

  

 

    

 

(a > 0);

(c > 0).

 

 

 

1. Розв’язати нерівність
Розв’язок (3z + 1)3 – 36z £ (5z – 2)2 + 21z;

9z + 3 – 36z £ 10z – 4 + 21z;

9z – 36z – 10z – 21z £  – 4 – 3;

x
Оскільки чисельник дробу 4 > 0, то

нерівність                  справедлива при

 

х – 2 > 0; x > 2.

Відповідь: (2; + ¥).
2. Розв’язати нерівність 1) ê1 – 3х ê < 2. 1) ê4х – 1 ê > 1.
Розв’язок – 2 < 1 – 3x < 2; 4х – 1 < – 1 или 4x – 1 > 1;  4x > 2

 

Системи нерівностей з однією змінною

Означення Приклади
Якщо необхідно знайти спільні розв’язки двох і більше нерівностей з однією змінною, це означає розв’язати систему двох або більше нерівностей з однією змінною  

– 1

Значення х Π                 є розв’язком

нерівності 4х + 4 ³ 0 і 6 – 4х ³ 0.

Відповідь:             .

Розв’язком системи називаються такі значення змінної, які є розв’язками відразу всіх нерівностей, що входять в дану систему
Розв’язати систему нерівностей з однією змінною – означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає

 

1. Розв’язати систему нерівностей
Розв’язок
Відповідь: ( – 1; 5; 4).

 

 

 

 

 

2. Розв’язати подвійну нерівність  – 3 < 2x – 1 < 3.
Розв’язок

Розв’язком подвійної нерівності є розв’язок системи двох нерівностей.

o           o

– 1           2

(– 1; 2)

або

– 3 < 2x – 1 < 3;

– 2 < 2x < 4;                                     о            о

– 1 < x < 2.                                     – 1           2                        (– 1; 2)

: (– 1; 2).
3. Розв’язати нерівність
Розв’язок

Розв’язок цієї нерівності зводиться до розв’язування двох систем

о           о

2,5          3,5

Розв’язків немає

або

о           о

2,5          3,5

(2,5; 3,5)

: (2,5; 3,5).

Розв’язування квадратних нерівностей

Означення Приклади
Нерівність виду ах2 + bx + с > 0 (ax2 + bx + с < 0), где а, b, с – деякі числа, а ¹ 0 і х – змінна, називається квадратною а) – 3х2 + х – 5 < 0;

б) х(х + 4) £ 3, т. к. х2 + 4х – 3 £ 0.

Для розв’язування квадратних нерівностей використовують ескіз графіка функції у = ах2 + bx + с,

тобто параболи.

 

х
– 1

 

 

 

3х2 – 7х – 10 ³ 0

у = 3х2 – 7х – 10 графік – парабола, вітки напрямлені вгору, вісь 0х перетинає в точках

 

Розв’язок будь-якої квадратної нерівності можна звести до одного з шести випадків таблиці
D < 0 D = 0 D > 0
 

 

 

 

 

а > 0

 

+                 +

 
 

х

ах2 + bx + с > 0:  х – будь-яке число;

ах2 + bx + с < 0: розв’язків немає

 

 

 

+                 +

 
х0               х

 

ах2 + bx + с > 0:

х Î (– ¥; х0) È (х0; + ¥);

ах2 + bx + с < 0: розв’язків немає

 

 

 

    +                   +

 

х1    –    х2       х

 

 

ах2 + bx + с > 0:

х Î (– ¥; х1) È (х2; + ¥);

ах2 + bx + с < 0:   х Î (х1; х2).

 

 

 

D < 0 D = 0 D > 0
 

 

 

 

а < 0

                                 х

–                 –

 

 

ах2 + bx + с > 0: розв’язків немає;

ах2 + bx + с < 0:  х – будь-яке число.

 

х

–                   –

 

 

ах2 + bx + с > 0: розв’язків немає;

ах2 + bx + с < 0:

х Î (– ¥; х0) È (х0; + ¥).

 

         х1      +      х2

 

 

 

ах2 + bx + с > 0:  х Î (х1; х2);

ах2 + bx + с < 0:

х Î (– ¥; х1) È (х2; + ¥).

 

Розв’язком нерівності  ах2 + bx + с > 0 є значення х, для яких точки параболи розташовані над віссю 0х.

Розв’язком нерівності  ах2 + bx + с < 0є значення х, для яких точки параболи розташовані під віссю 0х.

Алгоритм розв’язування квадратних нерівностей виду ах2 + bx + с >< 0
Розв’язати нерівність 7х + 10 – 3х2 £ 0.
1. Визначаємо напрямок гілок параболи, відповідної функції у = ах2 + bx + с.

2. Знаходимо корені квадратного тричлена ах2 + bx + с (розв’язуємо рівняння ах2 + bx + с = 0).

3. Будуємо ескіз графіка функції

у = ах2 + bx + с.

4. Вибираємо значення змінної, які відповідають розв’язкам Записуємо відповідь.

 – 3х2 + 7х + 10 £ 0

1. а = – 3; гілки спрямовані вниз

2. 3х2 – 7х – 10 = 0; D = 169;  х1 = – 1;  х2 =       .

 

3.

– 1         +

о                  о

 

 

.

.

 

Розв’язування нерівностей методом інтервалів

Якщо ліва частина нерівності є добутком, а права частина – 0, тобто f(x) > 0 (f(x) < 0) і f(x) = (xa)(xb) …. (xc), де a, b, с – деякі числа, то такі нерівності розв’язують методом інтервалів.
Алгоритм розв’язування нерівностей методом інтервалів

1. Знайти ОДЗ функції у = f(x).

2. Знайти нулі функції у = f(x) ( f(x) = 0).

3. Нанести нулі на ОДЗ.

4. Визначити знаки функції f(x) в кожному інтервалі, на які розбивається ОДЗ нулями функції.

5. Записати відповідь.

Розв’язати нерівність:

(х + 6)(х + 1)(х – 4) < 0.

1. ОДЗ: х Î R.

2. Нулі функції: (х + 6)(х + 1)(х – 4) = 0.

х1 = – 6;  х2 = – 1;  х3 = 4.

3. Нанесемо нулі на ОДЗ:

 
–         +        –        +

– 6     – 1          4        х

: ( – ¥; – 6) È ( – 1; 4).
Якщо всі множники функції у = f(x) виду (ха), тобто лінійні, то знаки на проміжках із ОДЗ можна чередувати справа наліво з «+» на « – ».

 

 

 

Практична частина

  1. Розв’яжіть нерівність:

а) 3(2х + 1) – 6 £ 2 – 3(1 – 2х);                                         б) – 5(1 + 4х) – 2х ³ 1 + 2(3 – х);

 

 

  1. Знайдіть множину розв’язків нерівностей:

 

 

  1. При яких значеннях змінної має зміст вираз:

 

  1. 4. Доведіть нерівності:

а) (а + 1)(а – 4) > (a + 2)(a – 5);   б) а2 – 2а + 9 > 0;                 в) (х – 2)2 > х(х – 4);

г) х2 + 6х + у2 – 4у + 15 > 0;    д) 2х2 + 5у2 + 2ху + 1 > 0;    е) х3 + у3 ³ х2у + ху2. (х > 0, y > 0)

 

 

 

 

 

Прикріплені файли

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

buy steroids

Home health

Oxandrolone cycle for women anavar control with Buy methenolone enanthate in australia one Equipoise before Oxymetholone cycle for women anadrol tablets Testosterone enanthate dosage test enanth dosage Trenbolone acetate before and after extreme weight Buy nandrolone decanoate online high deca Dianabol buy in australia juicy burger patties are Anapolon pills for sale what you need to know Sustanon 250 pills for sale the sust 250 folding