Заняття 16. НЕРІВНОСТІ

Дана публікація містить означення числової, лінійної, квадратної нерівності, а також системи нерівностей, розв’язка нерівності та системи нерівностей, розглядаються алгоритми розв’язання нерівностей і  систем  з прикладами розв’язання та практичною частиною

Заняття 16. Розв’язування нерівностей

Лінійні нерівності

Означення
Лінійною називається нерівність виду ах > b (або, відповідно, ах < b, ax ³ b, ах £ b), де а ¹ 0, и b ¹ 0 – числа.
Розв’язком нерівності з однією змінною називається множина таких значень змінної, які обертають його в правильну числову нерівність.
1.   Якщо а0, то розв’язок нерівності ах > b має вигляд .

2.   Якщо а0, то розв’язок нерівності ах > b має вигляд .

3.      Якщо а = 0, то нерівність ах > b приймає вигляд 0х > b, тобто вона не має розв’язків при b ³ 0 і верна при будь-яких х, якщо b < 0.

При розвязуванні нерівностей використовуються наступні властивості
Властивості Приклади
1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то вийде рівносильна йому нерівність 4(у – 1) + 7 £ 1 – 3(у + 2);

4у – 4 + 7 £ 1 – 3у – 6;

4у + 3у £ 1 – 6 + 4 – 7.

2. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме додатне число, то вийде рівносильна йому нерівність

7у £ – 8

 

-1

 

 

 

3. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то вийде рівносильне йому нерівність – 3х + 8 < 2x – 2;    – 3x – 2x <  – 8 – 2;

– 5х < – 10,

х > 2,                          о

2                             (2; + ¥)

 

Оцінка суми, різниці, добутка, частки

1.             а £ х £ b

 
c £ y £ d

        a + с £ х + у £ b + d

3.             а £ х £ b

 
c £ y £ d

             aс £ ху £ bd

 

(a > 0);

(c > 0).

2.             а £ х £ b

 
c £ y £ d

        ad £ ху £ bc

4.             а £ х £ b

 
c £ y £ d

  

 

    

 

(a > 0);

(c > 0).

 

 

 

1. Розв’язати нерівність
Розв’язок (3z + 1)3 – 36z £ (5z – 2)2 + 21z;

9z + 3 – 36z £ 10z – 4 + 21z;

9z – 36z – 10z – 21z £  – 4 – 3;

x
Оскільки чисельник дробу 4 > 0, то

нерівність                  справедлива при

 

х – 2 > 0; x > 2.

Відповідь: (2; + ¥).
2. Розв’язати нерівність 1) ê1 – 3х ê < 2. 1) ê4х – 1 ê > 1.
Розв’язок – 2 < 1 – 3x < 2; 4х – 1 < – 1 или 4x – 1 > 1;  4x > 2

 

Системи нерівностей з однією змінною

Означення Приклади
Якщо необхідно знайти спільні розв’язки двох і більше нерівностей з однією змінною, це означає розв’язати систему двох або більше нерівностей з однією змінною  

– 1

Значення х Π                 є розв’язком

нерівності 4х + 4 ³ 0 і 6 – 4х ³ 0.

Відповідь:             .

Розв’язком системи називаються такі значення змінної, які є розв’язками відразу всіх нерівностей, що входять в дану систему
Розв’язати систему нерівностей з однією змінною – означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає

 

1. Розв’язати систему нерівностей
Розв’язок
Відповідь: ( – 1; 5; 4).

 

 

 

 

 

2. Розв’язати подвійну нерівність  – 3 < 2x – 1 < 3.
Розв’язок

Розв’язком подвійної нерівності є розв’язок системи двох нерівностей.

o           o

– 1           2

(– 1; 2)

або

– 3 < 2x – 1 < 3;

– 2 < 2x < 4;                                     о            о

– 1 < x < 2.                                     – 1           2                        (– 1; 2)

: (– 1; 2).
3. Розв’язати нерівність
Розв’язок

Розв’язок цієї нерівності зводиться до розв’язування двох систем

о           о

2,5          3,5

Розв’язків немає

або

о           о

2,5          3,5

(2,5; 3,5)

: (2,5; 3,5).

Розв’язування квадратних нерівностей

Означення Приклади
Нерівність виду ах2 + bx + с > 0 (ax2 + bx + с < 0), где а, b, с – деякі числа, а ¹ 0 і х – змінна, називається квадратною а) – 3х2 + х – 5 < 0;

б) х(х + 4) £ 3, т. к. х2 + 4х – 3 £ 0.

Для розв’язування квадратних нерівностей використовують ескіз графіка функції у = ах2 + bx + с,

тобто параболи.

 

х
– 1

 

 

 

3х2 – 7х – 10 ³ 0

у = 3х2 – 7х – 10 графік – парабола, вітки напрямлені вгору, вісь 0х перетинає в точках

 

Розв’язок будь-якої квадратної нерівності можна звести до одного з шести випадків таблиці
D < 0 D = 0 D > 0
 

 

 

 

 

а > 0

 

+                 +

 
 

х

ах2 + bx + с > 0:  х – будь-яке число;

ах2 + bx + с < 0: розв’язків немає

 

 

 

+                 +

 
х0               х

 

ах2 + bx + с > 0:

х Î (– ¥; х0) È (х0; + ¥);

ах2 + bx + с < 0: розв’язків немає

 

 

 

    +                   +

 

х1    –    х2       х

 

 

ах2 + bx + с > 0:

х Î (– ¥; х1) È (х2; + ¥);

ах2 + bx + с < 0:   х Î (х1; х2).

 

 

 

D < 0 D = 0 D > 0
 

 

 

 

а < 0

                                 х

–                 –

 

 

ах2 + bx + с > 0: розв’язків немає;

ах2 + bx + с < 0:  х – будь-яке число.

 

х

–                   –

 

 

ах2 + bx + с > 0: розв’язків немає;

ах2 + bx + с < 0:

х Î (– ¥; х0) È (х0; + ¥).

 

         х1      +      х2

 

 

 

ах2 + bx + с > 0:  х Î (х1; х2);

ах2 + bx + с < 0:

х Î (– ¥; х1) È (х2; + ¥).

 

Розв’язком нерівності  ах2 + bx + с > 0 є значення х, для яких точки параболи розташовані над віссю 0х.

Розв’язком нерівності  ах2 + bx + с < 0є значення х, для яких точки параболи розташовані під віссю 0х.

Алгоритм розв’язування квадратних нерівностей виду ах2 + bx + с >< 0
Розв’язати нерівність 7х + 10 – 3х2 £ 0.
1. Визначаємо напрямок гілок параболи, відповідної функції у = ах2 + bx + с.

2. Знаходимо корені квадратного тричлена ах2 + bx + с (розв’язуємо рівняння ах2 + bx + с = 0).

3. Будуємо ескіз графіка функції

у = ах2 + bx + с.

4. Вибираємо значення змінної, які відповідають розв’язкам Записуємо відповідь.

 – 3х2 + 7х + 10 £ 0

1. а = – 3; гілки спрямовані вниз

2. 3х2 – 7х – 10 = 0; D = 169;  х1 = – 1;  х2 =       .

 

3.

– 1         +

о                  о

 

 

.

.

 

Розв’язування нерівностей методом інтервалів

Якщо ліва частина нерівності є добутком, а права частина – 0, тобто f(x) > 0 (f(x) < 0) і f(x) = (xa)(xb) …. (xc), де a, b, с – деякі числа, то такі нерівності розв’язують методом інтервалів.
Алгоритм розв’язування нерівностей методом інтервалів

1. Знайти ОДЗ функції у = f(x).

2. Знайти нулі функції у = f(x) ( f(x) = 0).

3. Нанести нулі на ОДЗ.

4. Визначити знаки функції f(x) в кожному інтервалі, на які розбивається ОДЗ нулями функції.

5. Записати відповідь.

Розв’язати нерівність:

(х + 6)(х + 1)(х – 4) < 0.

1. ОДЗ: х Î R.

2. Нулі функції: (х + 6)(х + 1)(х – 4) = 0.

х1 = – 6;  х2 = – 1;  х3 = 4.

3. Нанесемо нулі на ОДЗ:

 
–         +        –        +

– 6     – 1          4        х

: ( – ¥; – 6) È ( – 1; 4).
Якщо всі множники функції у = f(x) виду (ха), тобто лінійні, то знаки на проміжках із ОДЗ можна чередувати справа наліво з «+» на « – ».

 

 

 

Практична частина

  1. Розв’яжіть нерівність:

а) 3(2х + 1) – 6 £ 2 – 3(1 – 2х);                                         б) – 5(1 + 4х) – 2х ³ 1 + 2(3 – х);

 

 

  1. Знайдіть множину розв’язків нерівностей:

 

 

  1. При яких значеннях змінної має зміст вираз:

 

  1. 4. Доведіть нерівності:

а) (а + 1)(а – 4) > (a + 2)(a – 5);   б) а2 – 2а + 9 > 0;                 в) (х – 2)2 > х(х – 4);

г) х2 + 6х + у2 – 4у + 15 > 0;    д) 2х2 + 5у2 + 2ху + 1 > 0;    е) х3 + у3 ³ х2у + ху2. (х > 0, y > 0)

 

 

 

 

 

Прикріплені файли

Напишіть відгук

Ваша пошт@ не публікуватиметься. Обов’язкові поля позначені *