Заняття 17. ПРОГРЕСІЇ
Дана публікація містить означення арифметичної і геометричної прогресій, формули для знаходження n – го члена, суми n перших членів цих послідовностей з прикладами розв’язання та практичною частиною
Арифметична прогресія
| Означення | Приклади |
| Числова послідовність задана, якщо будь-якому натуральному числу n поставлено у відповідність деяке число an. | 3; 10; 11; 13; 16; 20; …
4; 7; 10; 13; 16; … |
| Послідовність задають за допомогою формули n – го члена, тоді неважко обчислити будь-який його член. | Послідовність (аn) задана формулою
an = n3, n Î N, 1; 8; 27; 64; … |
| Послідовності бувають скінченні і нескінченні.
Послідовність (аn) називається зростаючою (спадною), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність: an + 1 > > an(an + 1 < an), an – член послідовності, an + 1 – наступний член послідовності. |
2; 4; 6; 8; 10; 12; … – зростаюча.
спадна. |
| Числова послідовність (аn), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано одне і те ж число, називається арифметичною прогресією. Це число позначають буквою d і називають різницею арифметичної прогресії. | 1; 3; 5; 7; 9 – арифметична прогресія
а1 = 1; d = 2.
30; 25; 20; 15; 10; 5; … а1 = 30; d = – 5.
|
| Перші члени арифметичної прогресії будуть: а1; а1 + d; а1 + 2d; а1 + 3d; …. | – 50; – 40; – 30; – 20; …
а1 = – 50; d = 10. |
| Формула n – го члена арифметичної прогресії: an = a1 + d(n – 1), n Î N. | а6 = – 50 + 10(6 – 1) = – 50 + 10 × 5 = 0; а6 = 0. |
| Послідовність (аn) є арифметичною прогресією тоді й тільки тоді, коли кожен її член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним членів, тобто:
Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії: |
4; 7; 10; 13; 16; …
а1 = 4; d = 3.
або
|
Геометрична прогресія
| Означення | Приклади |
| Числову послідовність (bn), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число, називають геометричною прогресією. Це число позначають q і називають знаменником геометричної прогресії. | 2; 4; 8; 16; 32; 64;… b1 = 2, q = 2. |
| Першими членами геометричної прогресії будуть: b1; b1q; b1q2; b1q3; …
Формула n – го члена геометричної прогресії: bn = b1qn – 1, n Î N. |
|
| Послідовність (bn) є геометричною прогресією тоді й тільки тоді, коли кожен її член, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному сусідніх з ним членів: | 3, 9, 27, 81, 243; …
|
| Формула суми n перших членів геометричної прогресії:
n Î N, q ¹ 1 n Î N, q ¹ 1 |
1) 3, 9, 27, 81, 243, … q = 3 |
| Якщо (bn) – нескінченно спадна геометрична прогресія (êq ê < 1), то її сумаобчислюється за формулою: |