Заняття 8. Дії з одночленами і многочленами. Степінь
Дана публікація містить означення одночлена, многочлена, степеня з натуральним і цілим показником, дії з многочленами і одночленами, властивості степеня з довільним показником з прикладами розв’язання та практичною частиною.
Заняття 8. Дії з одночленами і многочленами. Степінь з натуральним показником
Одночлени. Степінь одночлена
| Означення | Приклади |
| Одночленом називається добуток чисел, змінних і їх натуральних степенів, а також самі числа, змінні і їх степені.Число 0 називається нульовим одночленом. | |
| Степенем одночлена називається сума показників змінних, що входять в одночлен.Якщо одночленом є число, не рівне нулю, то його степінь вважається рівним нулю.Число 0 степеня не має. | 3а5b2c3 – одночлен десятого степеня(5 + 2 + 3 = 10);5ах3 – одночлен четвертого степеня(1 + 3 = 4);
7 – одночлен нульового степеня (7 х 0). |
| Якщо в запис одночлена входить змінна х в степені k (x k), то говорять, що це одночлен має по х (або щодо х) степінь k. | 5ах3– одночлен третього степеня щодо змінної х. |
| Одночлен записаний в стандартному вигляді,якщо перший його множник є число, коефіцієнт одночлена, а далі стоять змінні в деяких степенях, розташовані за алфавітом (латинським або грецьким). | 4a2b3y3; 6a5b2c6; – 3xy3z4; 4a2b3j3 -одночлени в стандартному вигляді |
| Одночлени називаються подібними, якщо вони рівні між собою або відрізняються лише своїми коефіцієнтами. | – подібні одночлени |
| Дії над одночленами | |
| Додавання і віднімання | 3а3 + ab + b2 + 5a3 – 3ab = 8a3 – 2ab + b2. |
| Множення | (4a3b2c) × ( – 2a4bd) = – 8a7b3cd. |
| Зведення до степеня | (2x2y)3 = 23 × (x2)3y3 = 8x6y3. |
| Ділення | |
Види многочленів
| Означення | Приклади |
| Многочленом називається алгебраїчна сума кількох одночленів. | 5ху2 – 3ур3 + 4ху. |
| Многочлен, що складається з двох членів, називається двочленом. | х2 + а; ах + 3,5с4. |
| Многочлен, який складається з трьох членів, називається тричленом. | х + 5ху3 + 6. |
| Одночлен вважається окремим випадком многочлена. | 15d2m7n. |
| Якщо всі члени многочлена записані в стандартному вигляді і виконано зведення подібних доданків, то отриманий многочлен стандартного вигляду. | 3a × 5b + 3ab – b = 15ab + 3ab – b = 18ab – b. |
Дії з многочленами
| Означення | Приклади |
| Додавання і віднімання | |
| При додаванні і відніманні многочленів користуються правилами розкриття дужок. | (2ab – 5c) + (3a2b + 3c) = 2ab – 5c + 3a2b + 3c == 3a2b + 2ab – 2c;(2ab – 5c) – (3a2b + 3c) = 2ab – 5c – 3a2b – 3c == – 3a2b + 2ab – 8c; |
| Множення і ділення | |
| Щоб помножити одночлен на многочлен, перемножають кожний член многочлена на одночлен і результати додають. | 6х(х3 – 2) = 6х × х3 – 6х × 2 = 6х4 – 12х. |
| Щоб помножити многочлен на многочлен, перемножають кожний член першого многочлена на кожний член другого многочлена і отримані результати додають. | (2a – b) × (3a – 4b) = 6a2 – 8ab – 3ab + 4b2 == 6a2 – 11ab + 4b2 |
| Щоб поділити многочлен на одночлен, треба розділити на цей одночлен кожний член многочлена і отримані частки додати. | |
Степінь з натуральним і цілим показником
| Означення | Приклади |
| an = a × a × … a a Î R n разів n N, n ³ 2 |
33 = 3 × 3 × 3 = 27; (– 5)2 = (– 5) × (– 5) = 25;(– 10)0 = 1; 00 – не визначено;0– 3 – не визначено. |
Властивості стспеня з довільним показником
| am × an = am + n | 25 × 23 = 25 + 3 = 28 | am + n = am × an |
| (am)n = amn | (25)3 = 215 | amn = (am)n = (an)m |
| (ab)n = an × bn | (2 × 3)4 = 24 × 34 = 16 × 81 = 1296 | an × bn = (ab)n |
Практична частина
- Спростити вирази:
- Звести до стандартного вигляду одночлени:
3.Подати, якщо можливо, у вигляді квадрата одночлена:
а) 0,49х10у6; б) – 100а2b6; в) 289а10с8.
- Подати, якщо можливо, у вигляді куба одночлена:
- Знайти алгебраїчну різницю многочленів:
а) 0,1х2 + 0,002у2 и 0,17х2 – 0,08у2; б) 0,1х2 – 0,02у2 и – 0,17х2;
в) а3 – 0,12b3 и 0,39а3 – b3; г) а3 + 0,12b3 и 0,39а3 + b3.
- Виконати множення:
- Спростити:
а) (х3 – 3х + 4)5х – (2х2 + 5х – 8)3х; г) (х – у – а)(х – у);
б) 10а2 – (а – 2b)4a + 2b(3b – 4a) – 6b2; д) (х – а)(х – b)(x – c);
в) 8а2(b – 3) – 4aaa – 5a2a + (a3 + 4b); ж) (х2 + х + 1)(х2 – х + 1)(х2 – 1).
- Записати у вигляді виразу: