Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. Взаємне розміщення площин у просторі.

Мета уроку:

• сформувати знання учнів про способи взаємного розміщення прямої і площини та двох площин у просторі; дати уявлення про перпендикуляр до площини;
• формувати просторове уявлення;
• виховувати наполегливість, уважність, культуру писемного мовлення.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь.

Обладнання: опорні конспекти.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконання домашнього завдання за запи­сами, зробленими на дошці до початку уроку.

2. Робота за готовими рисунками.

Дано: АВ, С  АВ (рис. 1).

Доведіть: пряма АВ і точка С ле­жать у площині α.

Доведення

Візьмемо точку D, яка лежить на прямій АВ. Проведемо пряму CD. Через прямі АВ і CD, які перетина­ються, проводимо площину α. Що і треба було довести.

3. Фронтальна бесіда

• Що вивчає стереометрія?
• Назвіть основні геометричні фігури стереометрії.
• Сформулюйте аксіоми стереометрії.
• Яке взаємне розміщення двох прямих у просторі можливе?
• Скільки різних площин можна провести через:

а) три точки, які не лежать на одній прямій;

б) три точки; які лежать на одній прямій;

в) пряму і точку, що не належить цій прямій?

IV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Взаємне розміщення двох площин

Ми знаємо, що якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Це твердження — аксіома стереометрії. Звідси випливає, що дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок (рис. 2).

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не пере­тинаються.

Уявлення про паралельні площини дають підлога і стеля класної кімнати, дві протилежні стіни класної кімнати, поверхня стола і площина підлоги.

Якщо площини α і β паралельні, то пишуть: α || β.

Дві площини будуть паралельними, якщо дві прямі, що ле­жать в одній площині й перетинаються, паралельні двом прямим другої площини (рис.3), тобто якщо a || a₁, b || b₁, то α || β. До­ведення цього твердження ми опускаємо.

Завдання класу

1. Наведіть приклади паралельних площин із оточення.
2. На моделях куба, прямокутного паралелепіпеда покажіть па­ралельні площини і площини, які перетинаються.
3. Користуючись зображенням прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ , укажіть:

а) грані, які перетинають грань ABCD;

б) площини, які паралельні площині ABC.

4. Дано: куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Доведіть паралельність площин:
   а) АВС і A₁B₁C₁; б) AB₁D₁ і BDC₁.

У ході пояснення нового матеріалу учні складають опорний конспект

Площина і пряма, яка не лежить у площині, або не перетина­ються, або перетинаються в одній точці.

Випадки взаємного розміщення прямої і площини

1. Площина α не має спільних точок із прямою а. Пряма і пло­щина, які не мають спільних точок, називаються паралельни­ми, позначаються а || α (рис. 4).
2. Площина α має з прямою а тільки одну спільну точку. У цьо­му випадку говорять, що пряма а і площина α (рис.5) пе­ретинаються.
3. Пряма а лежить у площині α (рис. 6).

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині і проходить через точку перетину.

На рис. 7 пряма с перпендикулярна до площини α. Пи­шуть: cα. Із означення випливає, що с a, с  b, … .

Уявлення про пряму, перпендикулярну до площини, дають вертикальні стовпи — вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, що проходить через основу стовпа і лежить у площині землі.

Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площи­ни? Це запитання має практичне значення, наприклад, при уста­новці щогл, колон тощо, які потрібно встановлювати вертикально, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необ­хідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину да­ної прямої і площини. Достатньо перевірити перпендикулярність лише двох прямих, що лежать у площині й проходять через точку перетину прямої і площини. Справедлива така теорема:

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які перетинають­ся і лежать у площині, то дана пряма перпендикулярна до площини.

Доведення цієї теореми ми не наводимо.

Перпендикуляром до площини називається відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою прямої і точкою перетину її з площиною.

На рис. 8 АО — перпендикуляр до площини. Будь-який ін­ший відрізок, що сполучає точку А з довільною точкою В площи­ни α, називається похилою. Відрізок ВО називають проекцією похилої АВ на площину α.

Протягом пояснення учні роблять опорний конспект

Виконування вправ

1. На предметах навколишнього середовища покажіть різні ви­падки взаємного розташування прямої і площини.
2. Визначте взаємне розміщення площини ABC (використовуючи
   зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ на рис.9 ) і прямих: a) CD; б) АС₁; в) B₁D;       г) DС₁;       д) D₁С₁;      є) В₁D₁.
3. Укажіть у навколишньому середовищі моделі перпендикуляр­них прямих і площин.
4. Чи правильно, що якщо пряма не перпендикулярна до пло­щини, то вона не перпендикулярна до жодної прямої, що лежить у цій площині?
5. Пряма SA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD (рис. 10). Укажіть перпендикулярні прямі.
6. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис.9). Доведіть, що:

а) пряма АА₁ перпендикулярна до площини ABC;

б) пряма AD перпендикулярна до площини DCC₁;

в) пряма B₁D₁ перпендикулярна до площини A₁C₁C;

г) пряма A₁B₁ перпендикулярна до прямої BC₁.

д) трикутник AB₁C₁ прямокутний.

є) чотирикутник AB₁C₁D₁ — прямокутник.

7. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 4 см, а проекція похилої на площину — 3 см.
8. Знайдіть проекцію похилої на площину, якщо похила до­рівнює 13 см, а перпендикуляр, проведений з цієї точки, — 12 см.
9. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо похила дорів­нює 10 см, а проекція похилої на площину — 8 см. У табл. 9 наведено зразок конспекту уроку.

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. Дві прямі однієї площини паралельні двом прямим іншої пло­щини. Чи правильно, що такі площини завжди паралельні? Скористайтеся моделями.
2. Кінці відрізка, який не перетинає площину, віддалені від неї на 10 см і 20 см. Знайдіть відстань від площини до середини відрізка.
3. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від однієї із вершин куба до інших його вершин.
4. №710, 712.

VІ. Домашнє завдання

1. Вивчити матеріал про взаємне розміщення прямої та площи­ни і площин у просторі.
2. Розв’язати №№704, 706, 711.
3. Повторити формули площ многокутників.

VІІ. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1. Яка пряма називається паралельною площині?
2. Яка пряма називається перпендикулярною до площини?
3. Що таке перпендикуляр? похила?
4. Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які —неправильними.

• Якщо α || β, то будь-яка пряма площини α не має спільних точок з площиною β.
• Якщо α || β, то будь-яка пряма площини α паралельна кож­ній прямій площини β.
• Якщо α || β, то будь-яка пряма площини α мимобіжна кожній прямій площини β.
• Якщо α || β, то для будь-якої прямої а площини α існує пря­ма b у площині β така, що a || b.
• Якщо α || β, то пряма, яка перетинає площину α, перетинає і площину β.