Конус. Площа поверхні та об’єм конуса

Мета уроку:

• сформувати у учнів уявлення про конус; сформувати знання формул для обчислення площі поверхні конуса та його об’єму; розпочати формування вмінь учнів знаходити площі поверхонь і об’єми конусів
• розвивати просторове уявлення, пам’ять.

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь і навичок.

Обладнання: моделі конусів.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка виконання домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо­вісти на запитання учнів, які виникли при їх розв’язуванні.

2. Індивідуальна робота на картках

Діагональ  осьового перерізу циліндра дорівнює 13 см, а його висота  — 5 см. Знайдіть площу поверх­ні та об’єм циліндра.

(Відповідь. 132π см² і 180π см³ .)

3. Фронтальна бесіда

• На рис.1 вказати радіус циліндра, висоту, осьовий переріз.
• Циліндр утворено в результаті обертання прямокутника навколо сторони, яка утворює з діагоналлю прямокутника кут α, довжина діагоналей дорівнює d (рис.2). Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними.

а)  Висота циліндра дорівнює dcosα.

б)  Радіус циліндра дорівнює dsinα.

в)  Площа повної поверхні циліндра дорівнює
2πd²cosα(cosα + sinα).

г)  Об’єм циліндра дорівнює πd³sin²αcosα.

IV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Конус та його елементи

Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертан­ням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів (рис.3).

Якщо прямокутний трикутник SAO обертається навколо кате­та SO, то його гіпотенуза описує бічну поверхню, а катет О А — круг — основу конуса. Радіус цього круга називається радіусом конуса; точка S, відрізок SA, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса.

Осьовий переріз конуса — переріз конуса площиною, яка про­ходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса — рівні між собою рівнобедрені трикутники. На рис.4 ΔSAB — осьовий переріз конуса (SA = SB). Висотою конуса називається перпенди­куляр, опущений з його вершини на площину основи.

У прямого кругового конуса основа висоти збігається з цен­тром основи. На рис.4  SO — висота конуса.

Завдання класу

1. Наведіть приклади побутових предметів, які мають форму конуса.
2. Радіус основи конуса дорівнює 6 см, висота — 8 см. Знайдіть твірну конуса.
3. Твірна конуса дорівнює 5 см, а діаметр основи — 6 см. Знай­діть площу осьового перерізу конуса.

Площа поверхні та об’єм конуса

Бічну поверхню конуса, як і бічну поверхню циліндра, можна розгорнути на площину, розрізавши її по твірній (рис.5).

Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор, радіус якого дорівнює твірній конуса, а довжина дуги сектора  довжи­ні кола основи конуса (рис. 6).

Площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку половини довжини кола основи на твірну: S_бічн = πRl.

Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні та основи. Для обчислення площі повної поверхні конуса S_кон одержуємо:

S_кон = S_бічн + S_осн, S_кон = πRl + πR² = πR(l + R).

Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі його основи на висоту:

V = πR²H .

Poзв’язування задач

1. Висота конуса дорівнює 6 см, радіус основи — 8 см. Знайдіть бічну поверхню конуса.
2. Твірна конуса дорівнює 5 см, висота — 4 см. Знайдіть площу повної поверхні конуса.
3. Осьовий переріз конуса — правильний трикутник, сторона якого дорівнює 6 см. Знайдіть бічну поверхню конуса.
4. Висота конуса дорівнює 6 см, твірна — 10 см. Знайдіть об’єм конуса.
5. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник із гіпоте­нузою 12 см. Знайдіть об’єм конуса.

Учні складають конспект.

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Розв’язування задач

1. Купа щебеню має форму конуса, твірна якого дорівнює 6 м, а кут між твірною і висотою цього конуси становить 60°. Знайдіть об’єм щебеню. (Відповідь. 27м³.)
2. Твірна конуса дорівнює l і утворює з висотою конуса кут α. Знайдіть площу бічної поверхні та об’єм конуса.

(Відповідь.πl²sinα; πl³sin²αcosα.)

VІ. Домашнє завдання

1. Вивчити формули площі поверхні та об’єму конуса: §22, п.22.2.
2. Розв’язати №770, 774(а,б).

VІІ. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Дайте означення прямого кругового конуса.
2. Що таке осьовий переріз конуса?
3. Чому дорівнює площа бічної поверхні конуса?
4. Чому дорівнює площа поверхні конуса?
5. Чому дорівнює об’єм конуса?
6. Радіус основи конуса дорівнює 3 см, а твірна — 5 см. Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які –неправильними.

а) Довжина кола основи конуса дорівнює 9π см.

б) Площа основи конуса дорівнює 9π см².

в) Площа бічної поверхні конуса дорівнює 15π см².

г) Висота конуса дорівнює 4 см.