Множення вектора на число. Колінеарні вектори

Мета уроку:

• сформувати поняття «колінеарні вектори»; вивчити властивості та ознаки колінеарних векторів; формувати вміння множити вектор на число; вивчити властивості множення вектора на число; формувати вміння застосовувати вивчені значення і властивості до розв’язування задач;
• розвивати уміння лаконічно й математично грамотно висловлювати свою думку;
• виховувати культуру усного та писемного мовлення та міжособистісного спілкування.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: опорний конспект «Вектори на площині»

Хід уроку

І. Організаційний етап

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаного домашнього завдання та від­повісти на запитання, які виникли в учнів при його виконанні.

2. Фронтальна бесіда

• Дайте означення суми двох векторів. Опишіть способи побу­дови вектора суми двох векторів.
• Дайте означення різниці двох векторів. Опишіть способи по­будови вектора різниці двох векторів.
• Сформулюйте закони додавання і віднімання двох векторів.
• Дано точки А(3;-1), С(-5;3). Знайти координати векторів АС, ОА, СА, ОС, ОА+ОС, ОА-ОС.

IV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Множення вектора на число

Добутком вектора  на дійсне число λ називаєтеся вектор = λ,  колінеарний вектору , причому:

• = |λ| · ;
• якщо λ > 0, то вектор однаково напрямлений з вектором ;
• якщо λ < 0, то вектор протилежно напрям­лений вектору  (рис. 1).

Властивості добутку вектора на число

• (λ₁λ₂)= λ₁(λ₂) (сполучний закон);
• λ₁+ λ₂ = (λ₁ + λ₂) (розподільний закон);
• λ+ λ = λ( + ) (розподільний закон);
• 0 · = λ ·  = .

Два ненульові вектори  та  колінеарні тоді та тільки тоді, коли  = λ, λ — відмінне від нуля число.

Координати вектора λ дорівнюють добутку числа λ на від­повідні координати вектора . Якщо вектори задано на площині, то λ(а₁; а₂) =            = (λа₁; λа₂).

Колінеарні вектори

Якщо вектори колінеарні, то їхні відповідні координати про­порційні. І навпаки, якщо відповідні координати двох векторів пропорційні, то ці вектори колінеарні.

Якщо вектори (a₁; a₂) і (b₁; b₂) колінеарні, то . Якщо  і (a₁; a₂), (b₁; b₂), то вектори  і  колінеарні.

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

1. Побудуйте вектор , довжина якого дорівнює 4 см. Побудуйте за допомогою лінійки вектори:

а) 2;         б) -2;       в) ;       г) -.

2. Дано (1; -3), (-2; 1). Знайдіть координати вектора:

а) 2;         б) -3;       в) 2 + 3;         г) 2 – 3.

3. Серед векторів (-2; 4), (2; 2), (0; -1), (1; -2) знайдіть колінеарні.

Розв’язування

Оскільки вектори колінеарні, якщо їхні відповідні коорди­нати пропорційні, то маємо   = -2, звідси вектори  i  колінеарні.

Відповідь: i .

4. Знайдіть |2|, якщо (1; 2).
5. Знайдіть довжину вектора (6; у), якщо він колінеарний век­тору + , де (-2; 0), (0; 1).

Розв’язання

Нехай +  = , тоді (-2 + 0; 0 + 1) = (-2; 1). Оскільки векто­ри  і  колінеарні, то , звідси у =  = -3, тоді (6; -3) і  =   =  =  =  = 3.

Відповідь: 3

6. Доведіть, що вектори (1; 2) і (0,5; 1) однаково напрямлені, а вектори (-1; 2) і (0,5; -1) протилежно напрямлені.
7. Абсолютна величина вектора λдорівнює 5. Знайдіть λ, якщо:

а) (-6; 8);                    б) (3; -4).

VІ. Домашнє завдання

1. Вивчити 18, п.18.1
2. Розв’язати №620, 625, 633

VІІ. Підбиття підсумків уроку