Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди. Самостійна робота.

Мета уроку:

• сформувати у учнів уявлення про піраміду, її елементи; ознайомити учнів з формулами площі поверхні та об’єму піраміди; почати формування умінь і навичок використовувати введені поняття і формули для розв’язування найпростіших задач;
• формувати просторове уявлення, розвивати пам’ять;
• прищеплювати бажання мати якісні, глибокі знання.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь і навичок.

Обладнання: моделі пірамід, картки з текстами самостійної роботи.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1.  Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашніх завдань  за допомогою записів на дошці, які зроблено до початку уроку, та відповісти на запитання, які виникли в учнів при ви­конанні домашніх завдань.

2. Фронтальна бесіда

• Дайте означення п-кутної призми.
• Які властивості призми вам відомі?
• Яка призма називається прямою? правильною?
• Як обчислюється площа повної поверхні призми?
• Чому дорівнює площа бічної поверхні прямої призми?
• Чому дорівнює об’єм призми?

3. Робота за готовими рисунками

=30, а=8см, с,в-?

                                                    = 45, а=5см, с,в-?

=60; а=10см, с-?, в-?

                           а=3см, с=5см, в-?

                                                                              а=8см,,в= 5см, S – ?

4.  Самостійна робота

Варіант 1

1. Знайдіть площу бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони основи 7см і 2см, а висота 3см.
2. В основі прямої призми лежить прямокутник зі стороною 3 см і діагоналлю 5 см. Бічне ребро призми дорівнює 10 см. Знайдіть об’єм призми.

Варіант 2

1. Знайдіть площу бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони основи 4см і 6см, а висота 3см.
2. Основа прямої призми — прямокутний трикутник з катетом 8 см і гіпотенузою 10 см. Висота призми дорівнює 6 см. Знайдіть об’єм призми.

Варіант 3

1. Знайдіть площу бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони основи 5см і 3см, а висота 4см.
2. В основі прямої призми лежить прямокутник зі стороною 5 см і ді­агоналлю 13 см. Бічне ребро призми дорівнює 6 см. Знайдіть об’єм призми.

Варіант 4

1. Знайдіть площу бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони основи 6см і 2см, а висота 3см.
2. Основа прямої трикутної призми — прямокутний трикутник з ка­тетами 6см і гіпотенузою 10 см. Висота призми 5 см. Знайдіть об’єм призми.

ІV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Піраміда та її елементи

п-кутпною пірамідою називається многогранник, одна грань якого — довільний п-кутник, а всі інші п граней — трикутники, що мають спільну вершину.

(Демонструються моделі пірамід.)

Спільну вершину трикутних граней називають вершиною пі­раміди, протилежну їй грань — основою, а всі інші грані — біч­ними гранями піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піра­міди з вершинами основи, називають бічними ребрами.

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину її основи, називають висотою піраміди.

На рис.1 зображено чотирикутну піраміду SABCD; точ­ка S — її вершина, ABCD — основа; SA, SB, SC, SD — бічні ребра; АВ, ВС, CD, AD — ребра основи; SO — висота піраміди.

Трикутну піраміду називають також тетраедром. Суму площ усіх бічних граней піраміди називають площею бічної поверхні пі­раміди. Щоб знайти площу всієї поверхні піраміди, треба до площі S_бічн її бічної поверхні додати площу S_осн основи: S_mp = S_бічн + S_осн.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правиль­ний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього много­кутника (рис.2). (Демонструються моделі правильних пірамід.)

Усі бічні ребра правильної піраміди рівні, усі бічні гра­ні — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані пра­вильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. На рис. 2  SF  DC , SF — апофема.

Завдання класу

1. Скільки граней, ребер, вершин має п-кутна піраміда?
2. Кожне ребро тетраедра дорівнює 2 см. Знайдіть площу по­верхні тетраедра.
3. Побудуйте трикутну і чотирикутну піраміди.

Площа поверхні та об’єм піраміди

Теорема. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.

S_бічн = pm.

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту: V = S_осн ∙ H.

Завдання класу

1. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піра­міди, якщо сторона основи дорівнює 12 см, а апофема 10 см.
2. Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піра­міди, якщо сторона основи дорівнює 16 см, а бічне ребро 10 см.
3. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, а висота 10 см.

Учні складають конспект.

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. №№738, 740, 743, 747.
2. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, кожне ре­бро якої дорівнює а. (Відповідь. а³.)
3. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 10 см. Знайдіть:

а) висоту піраміди, якщо діагональ основи дорівнює 16 см;

б) апофему піраміди, якщо сторона основи дорівнює 12 см.

4. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, бічне ребро якої дорівнює 12 см і утворює з висотою піраміди кут 30°.
5. Одна з найвеличніших споруд давнини — піраміда Хеопса — має форму правильної чотирикутної піраміди, висота якої до­рівнює 150 м, а бічне ребро — 220 м. Знайдіть площу основи піраміди. (Відповідь. 51800м².)
6. В основі піраміди лежить прямокутник з діагоналлю d і ку­том α між діагоналями. Висота піраміди дорівнює Н, основа висоти піраміди — точка перетину діагоналей прямокутника. Знайдіть об’єм піраміди. (Відповідь. Hd²sinα.)

VI. Домашнє завдання

1. Вивчити формули площі поверхні та об’єму правильної піраміди: §21, п.21.2, 21.3.

2. Розв’язати №№737, 741, 751(а)

VII. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Що називається п-кутною пірамідою?
2. Яка піраміда називається правильною?
3. Які властивості правильної піраміди вам відомі?
4. Чому дорівнює площа поверхні піраміди?
5. Чому дорівнює площа бічної поверхні правильної піраміди?
6. Чому дорівнює об’єм піраміди?