Тіла обертання. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра

Мета уроку:

• сформувати поняття тіла обертання, циліндра; ознайомити з формулами площі поверхні і об’єму циліндра; почати формування вмінь учнів знаходити площі поверхонь і об’єми циліндрів;
• розвивати просторове уявлення, пам’ять;
• виховувати наполегливість, самостійність.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: картки для індивідуального опитування; моделі циліндрів.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаного домашнього завдання та від­повісти на запитання учнів, які виникли в них при розв’язуванні задач.

2. Фронтальна бесіда

• Кожне ребро трикутної піраміди дорівнює 6 см (рис.1). Знайти:

а) Периметр основи піраміди.

б) Площу основи піраміди.

в) Площу бічної і повної поверхні піраміди.

• В основі піраміди лежить квадрат зі стороною 10 см, бічні ребра піраміди дорівнюють 13 см (рис.2). Знайти:

а) Периметр основи піраміди.

б) Висоту бічної грані піраміди, проведеної з вершини пірамі­ди.

в) Площу бічної поверхні піраміди.

3. Індивідуальна робота

Картка  1

1. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної пірамі­ди, кожне ребро якої дорівнює 2 см.
2. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см і утворює з висотою піраміди кут 30°. Знайдіть об’єм піраміди.

Картка  2

1. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 2 см, а висота піраміди — 6 см.
2. Довжина сторони основи правильної чотирикутної пірамі­ди дорівнює 6 см, бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 60°. Знайдіть об’єм піраміди.

Відповіді до завдань індивідуальної роботи

Картка 1. 1. 3см². 2. см³.

Картка  2. 1. 8см³. 2. 12 см³.

IV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Циліндр та його елементи

Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обер­танням прямокутника навколо його сторони.

На рис.3 зображено циліндр, утворений обертанням плос­кого прямокутника ОАВО₁ навколо прямої ОО₁ — осі циліндра.

Сторони ОА і O₁B описують рівні круги, які лежать у па­ралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра.

Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверх­нею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні й дорів­нюють АВ, називаються твірними циліндра.

Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ, циліндра, кінці якого належать основам. Висота цилін­дра дорівнює його твірній.

Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра й діаметру його основи. На рис.4 прямокутник ABCD — осьовий переріз циліндра.

Завдання класу

1. Наведіть приклади побутових предметів, які мають форму циліндра.
2. Користуючись рис.4, назвіть:

а) радіус циліндра;      б) твірну циліндра.

3. Які властивості мають основи циліндра?
4. Які властивості мають твірні циліндра?
5. Із купи картону взяли аркуш і вирізали круг. Дістали циліндр з дуже малою висотою. Як практично визначити його висоту?
6. Кусок тонкого дроту можна вважати циліндром, у якого раді­ус дуже малий. Як практично визначити цей радіус?

Площа поверхні та об’єм циліндру

Поверхня циліндра складається з двох рівних основ і бічної поверхні.

Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і одній із твірних, а потім розгорнути на площині, то дістанемо розгортку циліндра (рис.5). Вона складається з прямокутника, сторони якого дорівнюють довжині кола основ і висоті циліндра, і двох кругів, що є основами циліндра.

Площею бічної і повної поверхні циліндра називають площу розгортки бічної і повної поверхонь.

Тоді площа бічної поверхні S_бічн і площа повної поверхні S_цил визначаються формулами:

S_бічн = 2πRH,

S_цил = S_бічн + 2S_осн = 2πRH + 2πR² = 2πR(H + R),

де R, H — радіус і висота циліндра відповідно.

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту V = S_осн ∙ H.

Якщо радіус основи циліндра дорівнює R, а висота Н, то його об’єм

V = πR²H.

Розв’язання задач

1. №№767, 775.
2. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 15π см. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра.
3. Осьовим перерізом циліндра є квадрат із стороною 8 см. Знай­діть бічну і повну поверхні циліндра.
4. Знайдіть об’єм тіла, утвореного при обертанні квадрата на­вколо його сторони, яка дорівнює 2 см.
5. Осьовий переріз циліндра — квадрат зі стороною 8 см. Знай­діть об’єм циліндра.
6. Знайдіть об’єм циліндра, якщо розгортка його бічної поверх­ні — квадрат зі стороною 8 см.

Учні складають конспект.

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. Діагональ АС осьового перерізу ABCD циліндра дорівнює 10 см, а його висота ОО₁ — 8 см. Знайдіть площу поверх­ні та об’єм циліндра. (Відповідь. 66π см² і 72π см .)
2. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює d і утворює кут α з твірною циліндра. Знайдіть площу бічної поверхні та об’єм циліндра. (Відповідь. πd²sinαcosα, .)

VІ. Домашнє завдання

1. Вивчити формулу площі поверхні та об’єму циліндра: §22, п.22.1.
2. Розв’язати №№768, 776.

VIІ. Підбиття підсумків уроку
Запитання до класу

1. Дайте означення циліндра.
2. Що таке висота циліндра? осьовий переріз циліндра?
3. Чому дорівнює площа бічної поверхні циліндра?
4. Чому дорівнює об’єм циліндра?