Аналіз контрольної роботи. Взаємне розміщення прямих у просторі.

Мета уроку:

• відкоректувати знання учнів з теми «Вектори»; повторити, привести в систему й розширити відомості про взаємне розміщення двох прямих у просторі.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: кубик Рубика,  модель єгипетської піраміди, опорний конспект.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

IIІ. Аналіз результатів контрольної роботи

1. Оголосити статистичні дані про бали, що одержали учні.
2. Спираючись на аналіз контрольної роботи, повідомити учням про типові помилки, що були допущені в контрольній роботі. Після цього учні працюють над помилками, яких вони припустилися при написанні контрольної роботи.
3. Для учнів, які повністю справилися з тематичною контроль­ною роботою, можна запропонувати задачі підвищеної склад­ності.

ІV. Мотивація навчальної діяльності

Ви ознайомилися з планіметрією. Планіметрія — це розділ геометрії, у якому вивчають властивості плоских геометричних фігур: трикутників, паралелограмів, кіл тощо.

Але, крім плоских фігур, існують і просторові фігури: прямо­кутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля. Багато предметів, що нас оточують, мають форму прямокутного паралелепіпеда: класна кімната, цегла, сірникова коробка тощо. Популярна в усьому світі іграшка — кубик Рубика — має форму куба.

Добре відомі піраміди Давнього Єгипту дають нам уявлен­ня про широкий клас геометричних тіл, які називаються піра­мідами.

Одного разу один відомий математик спробував пояснити знайомому поету, що таке простір. Той довго слухав, а потім сказав: «Все це не так, я знаю, що простір блакитний, і по ньому літають птахи». З точки зору математики поняття простору не настільки поетичне. Уявимо собі будинок. Він  має три виміри: довжиною в 9 під’їздів, шириною в три вікна, висотою в 5 поверхів. Це тривимірний простір. Щезла висота – двомірний простір (площина). Щезла ширина – одномірний (пряма).

V. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості просторо­вих фігур, називається стереометрією.

Основні просторові фігури

Основними фігурами простору є точка, пряма і площина.

Уявлення про точки і прямі ви маєте з курсу планіметрії. На­гадаємо, що точки позначають великими латинськими буквами, наприклад: А, В, С, …; прямі позначають малими латинськими буквами, наприклад: прямі а, Ь, с, …, або двома великими буква­ми, наприклад: прямі АВ, ВС, CD, … . Матеріальними моделями частини площини є, наприклад, поверхня столу, поверхня вікон­ного скла, мармурова плита тощо.

У геометрії площину уявляють необмеженою, ідеально рів­ною і гладкою. Зображають площину у вигляді паралелограма (рис. 1) або у вигляді довільної області (рис. 2). Познача­ють площини малими грецькими буквами, наприклад: площи­ни α, β, γ, … .

Як і будь-яка геометрична фігура, площина складається з точок. Якщо точка А лежить у площині α, то говорять, що площина α проходить через точку А, і записують так: А  α. Якщо точка А не лежить на площині α, говорять, що площина α не проходить через точку А, і записують так: А α.

Якщо кожна точка прямої а лежить на площині α, говорять, що пряма лежить у площині α або площина α проходить через пряму а, і записують так:   a  α; a  α.

Завдання класу

Побудуйте і запишіть за допомогою символів:

а) площину α і точку А, яка лежить у ній;

б) площину β і точку В, яка не належить їй;

в) площину γ, яка проходить через пряму а;

г) площину α і пряму а, яка не лежить у площині α;

д) дві площини β і γ, які проходять через пряму с.

Основні аксіоми стереометрії

Як і в планіметрії, властивості основних фігур у стереометрії виражаються аксіомами.

Нагадаємо, що в планіметрії властивість прямих і точок ви­ражалася аксіомою:

Яка б не була пряма, існують точки, які належать цій пря­мій, і точки, які їй не належать. Через дві різні точки можна провести пряму і до того ж тільки одну.

Узявши яку-небудь площину (наприклад, площину підлоги класної кімнати), ми можемо вказати точки, які належать цій площині, і точки, які не належать їй. Тому одна з властивостей площини в просторі виражається аксіомою.

Аксіома 1. Яка б не була площина, існують точки, які на­лежать цій площині, і точки, які їй не належать.

Аксіома 2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Наочною ілюстрацією аксіоми 2 є перетин двох стін, стіни і підлоги класної кімнати.

Аксіома 3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Ніяких інструментів, якими б можна було побудувати в про­сторі площину, немає. Тому вираз «можна провести площину» вживається в значенні «існує площина».

Єдину площину можна провести:

• через дві прямі, що перетинаються;
• через дві паралельні прямі;
• через пряму і точку, яка не лежить на цій прямій;
• через три точки, що не лежать на одній прямій.

Слід зазначити, що в просторі існує безліч площин, для кож­ної площини справедливі всі аксіоми і теореми планіметрії. Біль­ше того, ознаки рівності й подібності трикутників справедливі і для трикутників, що лежать у різних площинах.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі

Із планіметрії відомо, що дві прямі, що лежать у площині, можуть перетинатися або не мати спільних точок. Якщо дві пря­мі лежать в одній площині й не мають спільних точок, то вони називаються паралельними. У просторі дві різні прямі або пере­тинаються, або не перетинаються. Проте другий випадок допу­скає дві можливості: прямі лежать в одній площині або прямі не лежать в одній площині.

Прямі, які не перетинаються і лежать в одній площині, на­зиваються паралельними.

Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

(Випадки взаємного розташування двох прямих у просторі де­монструються за допомогою  кар­касної моделі куба.)

Отже, дві прямі а і b в просторі можуть перетинатися, бути паралельними, бути мимобіжними.

Завдання класу

1. Продемонструйте різні випадки розташування двох прямих у просторі на предметах оточення.
2. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 3).

а) Чи перетинаються прямі АА₁ і BB₁? A₁В₁ і D₁С₁? Як називаються ці прямі?

б) Чи перетинаються прямі AD і ВB₁? АВ і DD₁? Як називаються ці прямі?

в) Чи можна провести площину через прямі: AD і DB₁? A₁D₁ і C₁D₁? AD і BB₁? АA₁ і DB₁? АА₁ і DD₁?

VІ. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. Доведіть, що через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину.

Доведення

Нехай А, В, С — три дані точки, які не лежать на одній пря­мій (рис. 4). Проведемо прямі АВ і АС: вони різні, бо точки А, В, С не лежать на одній прямій. За аксіомою стереометрії через прямі АВ і АС, які перетинаються, можна провести площину α. Що і треба було довести.

2. Прямі АВ і CD не лежать в одній площині. Доведіть, що пря­мі АС і BD не можуть перетинатися.

Доведення

Якщо припустити, що прямі АС і BD перетинаються, то вони лежать у деякій площині. Тоді всі точки А, В, С, D лежать у цій площині, а отже, і прямі АВ і CD лежать в одній площині, що суперечить умові. Таким чином, прямі АС і BD не можуть пере­тинатися.

VIІ. Домашнє завдання

Вивчити 20, п.20.1, 20.3. Розв’язати №№716, 717.

VIIІ. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Які дві прямі називаються паралельними?
2. Які дві прямі називаються мимобіжними? Наводимо зразок конспекту.