Радіуси вписаного і описаного кола, медіана, бісектриса, висота і площа прямокутного трикутника. Теорема косинусів. Теорема синусів. Розв’язування трикутників.

Мета уроку:

• повторити опорні факти курсу планіметрії, пов¢язані з основними лініями в прямокутному трикутнику, теореми синусів і косинусів; формувати уміння використовувати дані факти при розв’язуванні трикутників;
• розвивати вміння аналізувати інформацію, бачити закономірності, міркувати за аналогією;
• виховувати математичну культуру, наполегливість, інтерес до математики.

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: таблиця «Прямокутний трикутник», опорний конспект.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашніх завдань  за допомогою записів на дошці, які зроблено до початку уроку, та відповісти на запитання, які виникли в учнів при ви­конанні домашніх завдань.

№7

№17

№52

2. Усна робота

Робота за готовими рисунками.

Знайти всі тригонометричні функції.

3. Перевірка знань формул

Установити відповідність (на магнітній дошці один учень виконує завдання з наступною перевіркою).

h_a

                         m_c

ІV. Актуалізація опорних знань.

1. Висота прямокутного трикутника. Співвідношення між катетами і їх проекціями на гіпотенузу:

a²= ca_c ;   b²= cb_c ;   h²= a_c b_c ;   h_c= .

2. Медіана і радіус описаного кола прямокутного трикутника.

m_c=  – радіус описаного кола.

3. Бісектриса і радіус вписаного кола прямокутного трикутника.

               r =  – радіус вписаного кола.

4. Площа прямокутного трикутника.

S =   ab

5. Теорема синусів .

6. Теорема косинусів а² = b² + с² – 2bc cosα

Окрім знаходження сторін і кутів трикутника, теорема косинусів також дозволяє з’ясувати вид трикутника:

якщо с² > а² + b² , то трикутник тупокутний;

якщо с² < а² + b² , то трикутник гострокутний;

якщо с² = а² + b² , то трикутник прямокутний.

Під час повторення складаємо опорний конспект.

Ф і з к у л ь т х в и л и н к а

V. Систематизація умінь і навичок

Коментоване розв’язування задач:

1. Сторона трикутника дорівнює 20 см, а протилежний кут ста­новить 150°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикут­ника. (Відповідь. 20 см.)
2. Знайдіть сторону АВ трикутника ABC, якщо ВС = 2см, A = 45°, C = 30°. (Відповідь. 2 см.)
3. Дві сторони трикутника дорівнюють см і 1 см, а кут між ними 30°. Знайдіть третю сторону трикутника. (Відповідь. 1 см.)
4. Сторони трикутника дорівнюють 1 см, 3см і 5 см. Знай­діть кут, який лежить проти найбільшої сторони.

Розв’язання

Нехай у трикутнику ABC а = 1 см, b = 3 см, с = 5 см. За теоремою косинусів маємо: с² = b²+ a² – 2bacosγ, тоді 5² = 1² +  – 2 · 1 · 3cosγ;   25 = 19 – 6cosγ; 6cosγ = – 6; cosγ =  =  = ;

тоді γ = 180° – 45° = 135°.

Відповідь. 135°.

5. Дві сторони трикутника а і с дорівнюють 5 см і 7 см, а кут γ дорівнює 60°. Знайдіть сторону b.

Розв’язання

За теоремою косинусів маємо:

с² = а² + b² – 2abcosγ, або 7² = 5² + b² – 2 · 5 ·  bcos60°,

звідси 49 = 25 + b² – 5b, або b² – 5b – 24 = 0. Роз­в’язавши рівняння, одержимо b₁ = 8; b₂ = -3. Оскільки b > 0, то значення b₂ не задовольняє умову задачі.

Відповідь. 8 см.

6. Визначте вид трикутника (відносно кутів), якщо його сторони дорівнюють 11 см, 17 см, 21 cm.

Розв’язання

Нехай а = 11 см, b = 17 см, с = 21 см. Найбільшим кутом буде кут С, оскільки він лежить проти більшої сторони. Тоді с² = 21² = 441, а² + b² = 11² + 17² = 121 + 289 = 410. Оскільки с² > а² + b², то трикутник тупокутний.

Відповідь. Тупокутний.

7. Радіуси описаного і вписаного кіл прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 15 см і 6 см. Знайдіть катети.

Розв’язання

Використовуючи формули , r =  та теорему Піфагора, виражаємо а через b , складаємо і розв’язуємо квадратне рівняння: .

Відповідь. 18 см і 24 см.

VІ. Підведення підсумків. Виставлення оцінок.

Ще раз по конспектах повторюємо основні положення.

У трикутнику ABC сторони дорівнюють a, b, c, a кути дорівнюють α, β, γ. Навколо цього трикутника описане коло радіуса R. Які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними?

1. a) b = 2Rsinα; б) ; в) ;   г) .

VІІ. Домашнє завдання.

Повторити матеріал підручника  1 (стор.9). Розв’язати №№24, 59.