Заняття 17. ПРОГРЕСІЇ

Дана публікація містить означення арифметичної і геометричної прогресій, формули для знаходження n - го члена, суми  n перших членів цих послідовностей з прикладами розв’язання та практичною частиною

Заняття 17. Прогресії

Арифметична прогресія

Означення Приклади
Числова послідовність задана, якщо будь-якому натуральному числу n поставлено у відповідність деяке число an. 3; 10; 11; 13; 16; 20; …

4; 7; 10; 13; 16; …

Послідовність задають за допомогою формули n - го члена, тоді неважко обчислити будь-який його член. Послідовність (аn) задана формулою

an = n3, n Î N,        1; 8; 27; 64; …

Послідовності бувають скінченні і нескінченні.

Послідовність  (аn) називається зростаючою (спадною), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність: an + 1 >

> an(an + 1 < an), an – член послідовності, an + 1наступний член послідовності.

2; 4; 6; 8; 10; 12; … – зростаюча.

 

спадна.

Числова послідовність (аn), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано одне і те ж число, називається арифметичною прогресією. Це число позначають буквою d і називають різницею арифметичної прогресії. 1; 3; 5; 7; 9 – арифметична прогресія

а1 = 1;  d = 2.

 

30; 25; 20; 15; 10; 5; …

а1 = 30;  d = – 5.

 

Перші члени арифметичної прогресії будуть: а1; а1 + d; а1 + 2d; а1 + 3d; ….  – 50; – 40;  – 30;  – 20; …

а1 = – 50;  d = 10.

Формула n – го члена арифметичної прогресії: an = a1 + d(n – 1), n Î N. а6 = – 50 + 10(6 – 1) = – 50 + 10 × 5 = 0;   а6 = 0.
Послідовність (аn) є арифметичною прогресією тоді й тільки тоді, коли кожен її член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним членів, тобто:

Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів.

Формула суми перших n членів арифметичної прогресії:

4; 7; 10; 13; 16; …

а1 = 4;  d = 3.

 

 

або

 

 

Геометрична прогресія

Означення Приклади
Числову послідовність (bn), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число, називають геометричною прогресією. Це число позначають q і називають знаменником геометричної прогресії. 2; 4; 8; 16; 32; 64;…  b1 = 2, q = 2.
Першими членами геометричної прогресії будуть: b1; b1q; b1q2; b1q3; …

Формула n – го члена геометричної прогресії:

bn = b1qn – 1, n Î N.

Послідовність (bn) є геометричною прогресією тоді й тільки тоді, коли кожен її член, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному сусідніх з ним членів: 3, 9, 27, 81, 243; …

 

Формула суми n перших членів геометричної прогресії:

 

n Î N, q ¹ 1                  n Î N, q ¹ 1

1) 3, 9, 27, 81, 243, … q = 3
Якщо (bn) – нескінченно спадна геометрична прогресія (êq ê < 1), то її сумаобчислюється за формулою:

 

 

Прикріплені файли

Напишіть відгук

Ваша пошт@ не публікуватиметься. Обов’язкові поля позначені *