Заняття 13. Рівняння
Дана публікація містить означення рівняння, кореня рівняння, розглядаються лінійні і квадратні рівняння з прикладами розв’язання та практичною частиною.
Рівняння і його корені.
Рівняння – це рівність, що містить змінну.
Корінь рівняння – це значення змінної, при якому рівняння перетворюється на вірну рівність.
Розв’язати рівняння – означає знайти його корені або довести, що їх немає.
Рівносильні рівняння – це рівняння, які мають одні і ті ж коріння.
Деякі властивості рівнянь.
У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки.
Якщо з однієї частини рівняння перенести доданки в іншу частину і поміняти при цьому знаки доданків на протилежні, отримаємо рівняння, рівносильне даному.
При діленні (множенні) обох частин рівняння на одне і те саме число, отримаємо рівняння, рівносильне даному
Лінійне рівняння
| Означення | Приклади |
| Рівняння виду ах = b, де х – змінна, а і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням. | 4 – 5х = 6 – 2(х + 2),
використовуючи властивості рівнянь: 4 – 5х = 6 – 2х – 4, – 5х + 2х = 6 – 4 – 4, |
| Розв’язування лінійних рівнянь | |
| аx + b = 0;
ax = – b. |
5х + 4 = 0;
5х = – 4. |
| a = 0; 0х = – b – немає коренів. b ¹ 0 | 0х = – 10
немає коренів, – 10 на 0 розділити неможливо |
| a = 0; b = 0. 0 × х = 0 – безліч коренів | 7х = 7х
7х – 7х = 0 0х = 0, х – будь-яке число. |
| a ¹ 0, b = 0, єдиний корінь. | 2х = 0, х = 0. |
Квадратні рівняння
| Означення | Приклади |
| Рівняння виду ах2 + bx + с = 0, де х – змінна; а, b, с – деякі числа, а ¹ 0, називають квадратним рівнянням, а – перший коефіцієнт, b – другий, с – вільний член. | 2х2 + 3х – 1 = 0;
х2 – 2х + 4 = 0. |
| Якщо в цьому рівнянні хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю, то дане рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:1) ах2 = 0; 2) ах2 + bx = 0; 3) aх2 + с = 0. | |
| 1) ах2 = 0, якщо b = 0, с = 0;
х2 = 0; х = 0 рівняння має тільки один корінь. |
5х2 = 0;
х = 0. Відповідь: 0. |
| Означення | Приклади | ||
| 2) Якщо с = 0, ах2 + bx = 0;
х(ах + b) = 0; рівняння завжди має два кореня. |
4х2 + 3х = 0;
х(4х + 3) = 0; х = 0 или 4х + 3 = 0;
|
||
| 3) Якщо b = 0, ах2 + с = 0;
а) якщо > 0,
то рівняння завжди має два кореня б) якщо < 0, то рівняння не має коренів.
|
9х2 – 4 = 0;
16х2 + 9 = 0; Немає коренів. Відповідь: Немає коренів. |
||
| Якщо а = 1, то квадратне рівняння називають зведеним. | х2 – х + 30 = 0. | ||
| Повні квадратні рівняння ах2 + bx + с = 0, а ¹ 0, розв’язуємо за формулою: | |||
| Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних коренів. | 2х2 + 5х + 6 = 0;
D = 25 – 48 = – 23; D < 0, отже рівняння не має дійсних коренів. |
||
| Якщо D = 0, то рівняння має два однакових кореня:
х1 = х2 = |
4х2 + 4х + 1 = 0;
D = 16 – 16 = 0, D = 0, отже, рівняння має два однакових кореня:
Відповідь: – 0,5. |
||
Если D > 0, то рівняння має два різних кореня:
|
2x2 + 3x + 1 = 0;
D = 9 – 8 = 1; Відповідь: – 0,5; – 1. |
||
| Для квадратного рівняння ах2 + 2kx + с = 0, у якого другий коефіцієнт – парне число, формулу коренів зручно записати так:
Теорема Вієта У наведеному квадратному рівнянні х2 + bx + c = 0 х1 + х2 = – b; x1 × x2 = c. |
3х2 + 8х – 3 = 0;
D1 = 16 + 9 = 25;
х2 – 5х + 6 = 0; х1 + х2 = 5; х1 × х2 = 6; х1 = 3; х2 = 2. Відповідь: 2; 3. |
||
| Означення | Приклади | ||
| Рівняння видуах4 + bx2 + с = 0, где а ¹ 0,
b ¹ 0 називається біквадратним рівнянням. |
2х4 + 3х2 + 4 = 0. | ||
| Формула розкладання квадратного тричлена на множники:
ах2 + bx + с = а (х – х1)(х – х2). |
2х2 – х – 3 = 2 (х – х1)(х – х2);
2х2 – х – 3 = 0; х1 = 1,5; х2 = – 1. 2х2 – х – 3 = 2 (х – 1,5)(х + 1). |
||
| Розв’язати рівняння | (х2 + 3)2 – 14(х2 + 3) + 24 = 0. | |
| Розв’язання.
Введемо нову змінну: тоді отримаємо рівняння: за теоремою Вієта маємо: |
у = х2 + 3, у2 – 14у + 24 = 0; у1 = 12; у2 = 2, отримаємо: х2 + 3 = 12; х2 + 3 = 2, х2 = 9; х2 = – 1 – немає коренів. х1 = 3 х2 = – 3 |
|
| Відповідь: – 3; 3. | ||
| Розв’язати рівняння | ||
| Розв’язання.
Запишемо у вигляді:
Зведемо до спільного знаменника:
спростимо:
Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник – нуль, а знаменник відмінний від нуля. Маємо:
|
х = – 1 – сторонній корінь. |
|
| Відповідь: 2. | ||