Подібність фігур. Площі подібних фігур.

Мета уроку:

• формувати поняття подібності фігур; вивчити теореми про площі подібних фігур; формувати вміння застосову­вати вивчені означення і властивості до розв’язування задач;
• розвивати уміння лаконічно й математично грамотно висловлювати свою думку;
• виховувати культуру усного та писемного мовлення та міжособистісного спілкування.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпові­сти на запитання, які виникли в учнів під час їх виконання.

2. Фронтальна бесіда

• Що таке перетворення подібності?
• Що таке гомотетія? центр гомотетії? коефіцієнт гомотетії?
• Сформулюйте відомі вам властивості перетворення подібності.

ІV. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

1. Поняття подібності фігур

Фігури F і F₁ називаються подібними, якщо кожній точці фігури F можна поставити у відповідність точку фігури F₁ так, що для довільних точок X і Y фігури F і відповідних точок X₁ і Y₁ фігури F₁ виконується умова , де k — те саме додатне число для всіх точок. При цьому передбачається, що кожна точка фігури F₁ має бути поставлена у відповідність якій-небудь точці фігури F. Число k називається коефіцієнтом подібності (рис.1).

Іншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подіб­ність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціаль­ним знаком: . Запис F  F₁ читається як «фігура F подібна фігурі F₁».

З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — по­дібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).

2. Властивості подібних фігур

• Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1). FF
• Якщо фігура F подібна фігурі F₁ з коефіцієнтом подібності k, то фігура F₁ подібна фігурі F з коефіцієнтом .
• Якщо фігура F₁ подібна фігурі F₂ з коефіцієнтом подібно­сті k₁, а фігура F₂ подібна фігурі F₃ з коефіцієнтом подіб­ності k₂, то фігура F₁ подібна фігурі F₃ з коефіцієнтом по­дібності k₁· k₂.
• Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіці­єнта подібності.

Доведемо цю властивість для многокутників.

Нехай F і F‘ — це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S‘ — їхні площі (рис. 2).

З’ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб’ємо n-кутник F на п трикутників Δ₁, Δ₂, …, Δ_п, сума площ яких дорівнює S.

Перетворення подібності, яке переводить F у F‘, переводить ці трикутники у трикутники , , …, , сума площ яких до­рівнює S‘.

Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і ви­соти трикутників Δ₁, Δ₂, …, Δ_n дорівнюють a₁ і h₁, а₂ і h₂, …, а_п і h_п, то основи і висоти трикутників , , …, дорівнюють відповідно ka₁ і kh₁, ka₂ і kh₂, …, ka_n і kh_n. Тоді

S‘ = ka₁ · kh₁ + ka₂ · kh₂ + … + ka_n · kh_n =

= k²= k²S.

Оскільки S’ = k²S,.

Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадра­ти їхніх відповідних лінійних розмірів.

Розв’язування вправ

1. Наведіть приклади подібних фігур.
2. Чи подібні будь-які рівні фігури?
3. Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні?
4. Про дві фігури відомо, що F₂ F₁ і F₁  F₂ з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F₁ і F₂?
5. Згадайте означення подібних трикутників.
6. Сформулюйте ознаки подібності трикутників.

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

1. Коментоване розв’язування задач: №№490, 500.
2. Додаткові задачі

1)Площі двох квадратів відносяться як 3 : 5. Чому дорівнює сторона меншого квадрата, якщо сторона більшого квадрата дорівнює 10 см? (Відповідь.  (см).)

2)Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як а : b. Площа першого многокутника дорівнює S. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. .)

3)Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різ­
ниця площ дорівнює 864 см². Знайдіть площі многокутників.

Розв’язання

Нехай S см² — площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см² — площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо , тоді             49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см².

Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см², а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см²).

Відповідь. 900 см² і 1764 см².

VІ. Домашнє завдання

1. Вивчити теоретичний матеріал 14, п.14.2. Самостійно опрацювати п.14.3. Повторити розв’язування трикутників.
2. Розв’язати задачі №491, 501

VІІ. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу

1. Сформулюйте властивості подібних фігур.
2. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних фігур.
3. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ? (Відповідь. 1 : )
4. Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? (Відповідь. а² : b².)