Пряма Ейлера. Коло Ейлера. Пряма Сімсона.

Мета уроку:

• розширити знання учнів з планіметрії: ознайомити з прямою Ейлера, колом Ейлера, прямою Сімсона;
• розвивати увагу, аналітичне, логічне, творче мислення виховувати інтерес до вивчення математики, позитивне ставлення до на­вчання;
• виховувати наполегливість у досягненні мети, працелюбність, пізнавальний інтерес.

Тип уроку: лабораторно-практичне заняття з елементами дослідження.

Обладнання: опорний конспект.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ.  Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашніх завдань  за допомогою записів на дошці, які зроблено до початку уроку, та відповісти на запитання, які виникли в учнів при ви­конанні домашніх завдань.

1. №27
2. Доведіть теорему: Якщо в трикутник вписане коло, то відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику протилежних сторін перетинаються в одній точці.

Доведення: Нехай А₁, В₁ и С₁ – точки дотику вписаного кола трикутника АВС. Для того, щоб довести, що відрізки  АА₁, ВВ₁ і СС₁перетинаються в одній точці, досить показати, що виконується рівність Чеви:

Використовуючи властивість дотичних, проведених з однієї точки, введемо позначення:

ВС₁ = ВА₁ = х, СА₁ = СВ₁ = у, АВ₁ = АС₁ = z.

Рівність Чеви виконується, значить, зазначені відрізки  перетинаються в одній точці. Цю точку називають точка жергонна. Теорема доведена.

3. Доведіть, що висоти трикутника перетинаються в одній точці (у випадку гострокутного трикутника).

Доведення: Маємо , , , , , .

Звідси випливає

2. Усна робота

• За даним рисунком для трикутника ACF і січної EO сформулюйте теорему Менелая.
• За даним рисунком для трикутника АВС сформулюйте теорему Чеви.
• Де знаходиться центр описаного (вписаного) кола трикутника?
• Чи перетинаються в одній точці висоти (медіани) трикутника?

ІІІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

Про особливості розміщення цих точок, їх назви, а також про розміщення деяких інших точок піде розмова на сьогоднішньому уроці.

IV. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

1. Сторінка історії.

Є декілька імен в історії сучасної математики, які відомі кожній освіченій людині. До їх числа належить й ім’я відомого математика Леонарда Ейлера, видатного вченого ХVІІІ століття, яке в галузі математики справедливо може бути названим століттям Ейлера. Ейлер виконав головні відкриття майже в усіх галузях математики.

Ейлер Леонард (1703 – 1783) – математик, фізик, механік і астроном. Народився в Швейцарії. Багато років провів у Росії. Зробив вагомий внесок у математичний аналіз, ввів поняття функції комплексної змінної. Започаткував математичний метод у теорії чисел, є одним із творців сучасної диференціальної геометрії

2. Пряма Ейлера.

• Де знаходиться центр тяжіння трикутника? (Центр тяжіння (центроїд) – точка перетину медіан).
• Де знаходиться ортоцентр трикутника? (Ортоцентр – точка перетину висот)

Практична робота №1.

1. На дошці побудований прямокутний трикутник. ABC з прямим кутом С.

Учитель на цьому рисунку будує:

Н – точку перетину висот (збіглася з точкою С);

О – точку перетину серединних перпендикулярів;

М – точку перетину медіан.

В результаті побудови спостерігаємо, що точки Н (С), М, О лежать на одній прямій.

Як розташовані ці точки в гострокутному і тупокутному трикутниках?

2. Учням пропонується провести практичну роботу на альбомних аркушах.

I варіанту пропонується гострокутний трикутник;

II варіанту – тупокутний трикутник.

Необхідно побудувати (алгоритм побудови):

• точку перетину серединних перпендикулярів (О);
• точку перетину медіан (М);
• точку перетину висот (Н).

Питання вчителя:

• Як розташовані ці точки?
• Сформулювати своє припущення, свою гіпотезу щодо розташування цих точок?
• Виміряти відрізки НМ і ОМ, порівняти ці відрізки.

Теорема. У трикутнику його центроїд (центр тяжіння), ортоцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій (прямій Ейлера). Отже, точки М, О, Н лежать на  одній  прямій, причому

точка М лежить між точками О та  Н і МН=2МО

3. Коло Ейлера (коло 9 точок).

Практична робота №2.

Учням пропонується виконати практичну роботу на  альбомному аркуші. Спочатку побудувати три трикутники: прямокутний, гострокутний, тупокутний, після цього кольоровим олівцем побудувати точки за алгоритмом.

Алгоритм:

Н – точка перетину висот трикутника АВС;

Три точки Н₁, Н₂, Н₃  – основи висот;

Три точки М₁, М₂, М₃  – середини сторін;

Три точки К₁– середина АН;

К₂ – середина ВН;

К₃ – середина СН.

Отже  відмічені 9 точок:. Н₁, Н₂, Н₃, М₁, М₂, М₃, К₁, К₂, К₃.

Питання вчителя:

• Як розташовані ці точки?
• Сформулюйте своє припущення, свою гіпотезу?

У трикутнику основи медіан, основи висот і точки, які поділяють навпіл відрізки, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром, лежать на одному колі (колі Ейлера).

Центр кола дев’яти точок лежить в середині відрізка, що з’єднує ортоцентр з центром описаного кола. Радіус кола дев’яти точок дорівнює  , деR – радіус кола, описаного навколо трикутника ABC.

4. Пряма Сімсона.

Відкриття цієї прямої тривалий час приписувалося Роберту Сімсону, але насправді вона була відкрита лише в 1797 році Вільямом Воллесом. Тому наряду з традиційною назвою часто використовується назва пряма Воллеса.

 Якщо точка Х належить колу, описаному навколо трикутника АВС, то точки Х₁,Х₂, Х₃, належать одній прямій (прямій Сімсона).

V. Закріплення вивченого матеріалу

Коментоване розв’язування задач

1. Задача, в якій використовується поняття «пряма Ейлера».

Більшій стороні трикутника відповідає менша медіана, тобто а<b<c <=> m_a>m_b>m_c

Дано: ВС>АС                                                 Довести:АА₁<ВВ₁

Доведення:

М – точка перетину медіан;

О – точка перетину серединних перпендикулярів;

Н – точка перетину висот

М, О, Н лежать на прямій Ейлера

VІ. Підведення підсумків. Виставлення оцінок.

Ще раз по конспектах повторюємо основні положення.

VІІ. Домашнє завдання.

Вивчити матеріал підручника  1 (стор.14).

Довести самостійно або знайти і розібрати: І варіант – теорему про пряму Ейлера, ІІ варіант – теорему про коло Ейлера.

Підготувати повідомлення про Ейлера.