Теорема Менелая. Теорема Чеви.

Мета уроку:

• розширити знання учнів з планіметрії: ознайомити з теоремами Птолемея, Менелая,  Чеви; сформувати уміння і навички використання даних теорем при розв’язанні задач;
• сприяти розвитку всесторонньо розвинутої особистості;
• виховувати інтерес до вивчення математики, потяг до наукової творчості.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: опорний конспект.

Хід уроку

І. Організаційний етап
Перевіряю готовність учнів до уроку, налаштовую їх на роботу.

IІ. Повідомлення теми, мети і задач уроку

ІІІ. Відтворення основних положень вивченого на попередньому уроці

1. Перевірка домашнього завдання

Вибірково перевіряю зошити, відповідаю на питання, що виникли у учнів під час виконання домашнього завдання.

№32

№36

№34

• Як можна побудувати правильний шестикутник?
• Як побудувати правильний трикутник?
• Як можна побудувати правильний чотирикутник?
• Як можна побудувати правильний восьмикутник?

2. Математичний диктант

Дано правильний п-кутник.

Варіант 1 (п = 5),    варіант 2 (п = 6).

Знайдіть:

а) суму кутів многокутника;

б) внутрішній кут многокутника;

в) зовнішній кут многокутника;

г) центральний кут многокутника;

д) сторону многокутника, якщо його периметр дорівнює 30 см;

є) апофему многокутника, якщо його сторона дорівнює 20 см.

Відповіді

Варіант 1. а) 540°; б) 108°; в) 72°; г) 72°; д) 6 см; є) 10tg36° см.

Варіант 2. а) 720°; б) 120°; в) 60°; г) 60°; д) 4 см; є) 10 см.

IV. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

1. Теорема Менелая.

Теорему Менелая пов’язують з Менелаєм з Александрії (бл. 100 до н. е.). Ця теорема показує закономірність, що спостерігається для відносин відрізків, що з’єднують вершини деякого трикутника і точки перетину січної зі сторонами (продовженнями сторін) трикутника.

 Нехай дано точки A, B, C, які утворюють трикутник ABC і точки D, E, F, які лежать на лініях  BC, AC, AB. Тоді теорема стверджує що D, E, F лежать на одній прямій (колінеарні) тоді і тільки тоді якщо:

(З урахуванням напрямків відрізків в теоремі з’являється -1)

2. Теорема Чеви.

Хотілося б мати який-небудь загальний метод, що дозволяв би по положенню точок на сторонах трикутника визначати, перетинається відповідна трійка прямих в одній точці чи ні.

Універсальну умову, що «закриває» цю проблему, знайшов 1678 р італійський інженер Джованні Чева.

Нехай дано трикутник ABC, і точки D, E, і F, що лежать на прямих BC, CA, і AB відповідно. Теорема стверджує, що лінії AD, BE і CF перетинаються в одній точці (конкурентні) тоді і тільки тоді якщо:

Чевіана – це відрізок, який з’єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні.

Ф і з к у л ь т х в и л и н к а

V. Формування умінь і навичок використання вивчених теорем

Задача 1.

В трикутнику АВС АD – медіана, точка О – середина медіани. Пряма ВО перетинає сторону АС в точці К.

В якому відношенні точка К ділить АС, рахуючи від точки А?

Розв’язання

Нехай ВD = DС = а, АО = ОD = m. Пряма ВК перетинає дві сторони и продовження третьої сторони трикутника АDС . За  теоремою Менелая

Задача 2.

Довести теорему: Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Доведення: Досить показати, що:

Тоді за теоремою Чеви AL_1, BL_2, CL₃ перетинаються в одній точці. За властивістю бісектрис трикутника:

.Перемноживши почленно отримані рівності, маємо: .

Тоді за теоремою Чеви бісектриси перетинаються в одній точці. Теорему доведено.

Задача 3. Довести теорему: Медіани трикутника перетинаються в одній точці; точка перетину ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.
Доведення: Нехай АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медіани трикутника АВС. Щоб довести, що ці відрізки перетинаються в одній точці, досить показати, що

Тоді за теоремою Чеви відрізки АМ₁, ВМ₂ и СМ₃ перетинаються в одній точці. Маємо:

Отже, медіани трикутника перетинаються в одній точці

Нехай О – точка перетину медіан. Пряма М₃С перетинає дві сторони трикутника АВМ₂ і продовження третьої сторони цього трикутника. За теоремою Менелая

або .

Розглядаючи теорему Менелая для трикутників АМ₁С і АМ₂С, ми отримаємо, що

.

Теорему доведено.

Задача 4. У трикутнику  відрізок  ( належить стороні ) ділить медіану  у відношенні  3:4, починаючи від вершини . У якому відношенні точка  ділить сторону ?

Розв’язання.

1-й спосіб. Проведемо За умовою  За теоремою Фалеса . Нехай , тоді

.

Відповідь: 3:8.

2-й спосіб. Запишемо теорему Менелая для трикутника   і прямої : . Тоді .

Відповідь: 3 : 8.

Задача 5.  Висота  рівнобедреного трикутника  з основою  поділена на три рівні частини. Через точку  та точки поділу проведено прямі, які ділять бічну сторону, що дорівнює  см, на три відрізки. Знайти ці відрізки.

Розв’язання.

За умовою:   . Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :.

,  . Звідси см ,  см.

Запишемо теорему Менелая для трикутника  і прямої :

, ,  .

Звідси см,  (см).

Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см.

V. Підведення підсумків. Виставлення оцінок.

Ще раз по конспектах повторюємо основні положення.

VІ. Домашнє завдання.

Повторити матеріал підручника  1 (стор.13-14). Розв’язати задачі:

1. №27
2. Доведіть теорему: Якщо в трикутник вписане коло, то відрізки, що з’єднують вершини трикутника з точками дотику протилежних сторін, перетинаються в одній точці.
3. Доведіть, що висоти трикутника перетинаються в одній точці (розглянути лише випадок гострокутного трикутника).
4. Принести 2 альбомних аркуша.