Заняття 16. НЕРІВНОСТІ
Дана публікація містить означення числової, лінійної, квадратної нерівності, а також системи нерівностей, розв’язка нерівності та системи нерівностей, розглядаються алгоритми розв’язання нерівностей і систем з прикладами розв’язання та практичною частиною
Заняття 16. Розв’язування нерівностей
Лінійні нерівності
| Означення | |||||
| Лінійною називається нерівність виду ах > b (або, відповідно, ах < b, ax ³ b, ах £ b), де а ¹ 0, и b ¹ 0 – числа. | |||||
| Розв’язком нерівності з однією змінною називається множина таких значень змінної, які обертають його в правильну числову нерівність. | |||||
| 1. Якщо а0, то розв’язок нерівності ах > b має вигляд .
2. Якщо а0, то розв’язок нерівності ах > b має вигляд . 3. Якщо а = 0, то нерівність ах > b приймає вигляд 0х > b, тобто вона не має розв’язків при b ³ 0 і верна при будь-яких х, якщо b < 0. |
|||||
| При розв’язуванні нерівностей використовуються наступні властивості | |||||
| Властивості | Приклади | ||||
| 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то вийде рівносильна йому нерівність | 4(у – 1) + 7 £ 1 – 3(у + 2);
4у – 4 + 7 £ 1 – 3у – 6; 4у + 3у £ 1 – 6 + 4 – 7. |
||||
| 2. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме додатне число, то вийде рівносильна йому нерівність |
7у £ – 8
|
||||
| 3. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то вийде рівносильне йому нерівність | – 3х + 8 < 2x – 2; – 3x – 2x < – 8 – 2;
– 5х < – 10, х > 2, о 2 (2; + ¥) |
||||
Оцінка суми, різниці, добутка, частки
| 1. а £ х £ b
a + с £ х + у £ b + d |
3. а £ х £ b
aс £ ху £ bd |
(a > 0); (c > 0). |
||||||
| 2. а £ х £ b
a – d £ х – у £ b – c |
4. а £ х £ b
|
(a > 0); (c > 0). |
| 1. Розв’язати нерівність | |||||||||||
| Розв’язок | (3z + 1)3 – 36z £ (5z – 2)2 + 21z;
9z + 3 – 36z £ 10z – 4 + 21z; 9z – 36z – 10z – 21z £ – 4 – 3;
|
Оскільки чисельник дробу 4 > 0, то
нерівність справедлива при
х – 2 > 0; x > 2. |
|||||||||
| Відповідь: (2; + ¥). | |||||||||||
| 2. Розв’язати нерівність | 1) ê1 – 3х ê < 2. | 1) ê4х – 1 ê > 1. | |||||||||
| Розв’язок | – 2 < 1 – 3x < 2; | 4х – 1 < – 1 или 4x – 1 > 1; 4x > 2 | |||||||||
Системи нерівностей з однією змінною
| Означення | Приклади | ||||||||
| Якщо необхідно знайти спільні розв’язки двох і більше нерівностей з однією змінною, це означає розв’язати систему двох або більше нерівностей з однією змінною |
Значення х Î є розв’язком
нерівності 4х + 4 ³ 0 і 6 – 4х ³ 0. Відповідь: . |
||||||||
| Розв’язком системи називаються такі значення змінної, які є розв’язками відразу всіх нерівностей, що входять в дану систему | |||||||||
| Розв’язати систему нерівностей з однією змінною – означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає |
| 1. Розв’язати систему нерівностей | |
| Розв’язок | |
| Відповідь: ( – 1; 5; 4). | |
| 2. Розв’язати подвійну нерівність | – 3 < 2x – 1 < 3. | |||||||
| Розв’язок
Розв’язком подвійної нерівності є розв’язок системи двох нерівностей. |
o o – 1 2 (– 1; 2) або – 3 < 2x – 1 < 3; – 2 < 2x < 4; о о – 1 < x < 2. – 1 2 (– 1; 2) |
|||||||
| : (– 1; 2). | ||||||||
| 3. Розв’язати нерівність | ||||||||
| Розв’язок
Розв’язок цієї нерівності зводиться до розв’язування двох систем |
о о 2,5 3,5 Розв’язків немає або
о о 2,5 3,5 (2,5; 3,5) |
|||||||
| : (2,5; 3,5). | ||||||||
Розв’язування квадратних нерівностей
| Означення | Приклади | ||||||||||||||||
| Нерівність виду ах2 + bx + с > 0 (ax2 + bx + с < 0), где а, b, с – деякі числа, а ¹ 0 і х – змінна, називається квадратною | а) – 3х2 + х – 5 < 0;
б) х(х + 4) £ 3, т. к. х2 + 4х – 3 £ 0. |
||||||||||||||||
| Для розв’язування квадратних нерівностей використовують ескіз графіка функції у = ах2 + bx + с,
тобто параболи. |
|
3х2 – 7х – 10 ³ 0
у = 3х2 – 7х – 10 графік – парабола, вітки напрямлені вгору, вісь 0х перетинає в точках
|
|||||||||||||||
| Розв’язок будь-якої квадратної нерівності можна звести до одного з шести випадків таблиці | |||||||||||||||||
| D < 0 | D = 0 | D > 0 | |||||||||||||||
|
а > 0 |
+ + х ах2 + bx + с > 0: х – будь-яке число; ах2 + bx + с < 0: розв’язків немає
|
+ +
ах2 + bx + с > 0: х Î (– ¥; х0) È (х0; + ¥); ах2 + bx + с < 0: розв’язків немає
|
+ +
х1 – х2 х
ах2 + bx + с > 0: х Î (– ¥; х1) È (х2; + ¥); ах2 + bx + с < 0: х Î (х1; х2).
|
||||||||||||||
| D < 0 | D = 0 | D > 0 | |||||||||||||||
|
а < 0 |
х
– –
ах2 + bx + с > 0: розв’язків немає; ах2 + bx + с < 0: х – будь-яке число. |
х – –
ах2 + bx + с > 0: розв’язків немає; ах2 + bx + с < 0: х Î (– ¥; х0) È (х0; + ¥).
|
х1 + х2
ах2 + bx + с > 0: х Î (х1; х2); ах2 + bx + с < 0: х Î (– ¥; х1) È (х2; + ¥).
|
||||||||||||||
| Розв’язком нерівності ах2 + bx + с > 0 є значення х, для яких точки параболи розташовані над віссю 0х.
Розв’язком нерівності ах2 + bx + с < 0є значення х, для яких точки параболи розташовані під віссю 0х. |
|||||||||||||||||
| Алгоритм розв’язування квадратних нерівностей виду ах2 + bx + с >< 0 | |||||||||||||||||
| Розв’язати нерівність | 7х + 10 – 3х2 £ 0. | ||||||||||||||||
| 1. Визначаємо напрямок гілок параболи, відповідної функції у = ах2 + bx + с.
2. Знаходимо корені квадратного тричлена ах2 + bx + с (розв’язуємо рівняння ах2 + bx + с = 0). 3. Будуємо ескіз графіка функції у = ах2 + bx + с. 4. Вибираємо значення змінної, які відповідають розв’язкам Записуємо відповідь. |
– 3х2 + 7х + 10 £ 0
1. а = – 3; гілки спрямовані вниз 2. 3х2 – 7х – 10 = 0; D = 169; х1 = – 1; х2 = .
3. – 1 + о о
. . |
||||||||||||||||
Розв’язування нерівностей методом інтервалів
| Якщо ліва частина нерівності є добутком, а права частина – 0, тобто f(x) > 0 (f(x) < 0) і f(x) = (x – a)(x – b) …. (x – c), де a, b, с – деякі числа, то такі нерівності розв’язують методом інтервалів. | ||||
| Алгоритм розв’язування нерівностей методом інтервалів
1. Знайти ОДЗ функції у = f(x). 2. Знайти нулі функції у = f(x) ( f(x) = 0). 3. Нанести нулі на ОДЗ. 4. Визначити знаки функції f(x) в кожному інтервалі, на які розбивається ОДЗ нулями функції. 5. Записати відповідь. |
Розв’язати нерівність:
(х + 6)(х + 1)(х – 4) < 0. 1. ОДЗ: х Î R. 2. Нулі функції: (х + 6)(х + 1)(х – 4) = 0. х1 = – 6; х2 = – 1; х3 = 4. 3. Нанесемо нулі на ОДЗ: – 6 – 1 4 х |
|||
| : ( – ¥; – 6) È ( – 1; 4). | ||||
| Якщо всі множники функції у = f(x) виду (х – а), тобто лінійні, то знаки на проміжках із ОДЗ можна чередувати справа наліво з «+» на « – ». | ||||
Практична частина
- Розв’яжіть нерівність:
а) 3(2х + 1) – 6 £ 2 – 3(1 – 2х); б) – 5(1 + 4х) – 2х ³ 1 + 2(3 – х);
- Знайдіть множину розв’язків нерівностей:
- При яких значеннях змінної має зміст вираз:
- 4. Доведіть нерівності:
а) (а + 1)(а – 4) > (a + 2)(a – 5); б) а2 – 2а + 9 > 0; в) (х – 2)2 > х(х – 4);
г) х2 + 6х + у2 – 4у + 15 > 0; д) 2х2 + 5у2 + 2ху + 1 > 0; е) х3 + у3 ³ х2у + ху2. (х > 0, y > 0)