Заняття 13. Рівняння

Дана публікація містить означення рівняння, кореня рівняння, розглядаються лінійні і квадратні рівняння з прикладами розв’язання та практичною частиною.

Заняття 13. Рівняння

Рівняння і його корені.

   Рівняння – це рівність, що містить змінну.

Корінь рівняння – це значення змінної, при якому рівняння перетворюється на вірну рівність.

Розв’язати рівняння – означає знайти його корені або довести, що їх немає.

Рівносильні рівняння – це рівняння, які мають одні і ті ж коріння.

Деякі властивості рівнянь.

   У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки.

Якщо з однієї частини рівняння перенести доданки в іншу частину і поміняти при цьому знаки доданків на протилежні, отримаємо рівняння, рівносильне даному.

При діленні (множенні) обох частин рівняння на одне і те саме число, отримаємо рівняння, рівносильне даному

Лінійне рівняння

Означення Приклади
Рівняння виду ах = b, де х – змінна, а і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням. 4 – 5х = 6 – 2(х + 2),

використовуючи властивості рівнянь:

4 – 5х = 6 – 2х – 4,

– 5х + 2х = 6 – 4 – 4,

Розв’язування лінійних рівнянь
аx + b = 0;

ax = – b.

5х + 4 = 0;

5х = – 4.

a = 0;  0х = – b – немає коренів.  b ¹ 0 0х = – 10

немає коренів,      – 10 на 0 розділити неможливо

a = 0; b = 0. 0 × х = 0 – безліч коренів 7х = 7х

7х – 7х = 0

0х = 0,           х – будь-яке число.

a ¹ 0, b = 0,  єдиний корінь. 2х = 0,  х = 0.

 

Квадратні рівняння

Означення Приклади
Рівняння виду ах2 + bx + с = 0, де х – змінна; а, b, с – деякі числа, а ¹ 0, називають квадратним рівнянням, а – перший коефіцієнт, b – другий, с – вільний член. 2х2 + 3х – 1 = 0;

х2 – 2х + 4 = 0.

Якщо в цьому рівнянні хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю, то дане рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:1) ах2 = 0;     2) ах2 + bx = 0;    3) aх2 + с = 0.
1) ах2 = 0, якщо b = 0, с = 0;

х2 = 0;

х = 0

рівняння має тільки один корінь.

5х2 = 0;

х = 0.

Відповідь: 0.

 

 

 

 

Означення Приклади
2) Якщо с = 0, ах2 + bx = 0;

х(ах + b) = 0;

рівняння завжди має два кореня.

4х2 + 3х = 0;

х(4х + 3) = 0;

х = 0  или  4х + 3 = 0;

 

3) Якщо b = 0, ах2 + с = 0;

 

а) якщо         > 0,

 

то рівняння завжди має два кореня

б) якщо       < 0, то рівняння не має коренів.

 

9х2 – 4 = 0;

16х2 + 9 = 0;

Немає коренів.

Відповідь: Немає коренів.

Якщо а = 1, то квадратне рівняння називають зведеним. х2х + 30 = 0.
Повні квадратні рівняння ах2 + bx + с = 0, а ¹ 0, розв’язуємо за формулою:
Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних коренів. 2х2 + 5х + 6 = 0;

D = 25 – 48 = – 23;

D < 0, отже рівняння не має дійсних коренів.

Якщо D = 0, то рівняння має два однакових кореня:

                    х1 = х2 =

4х2 + 4х + 1 = 0;

D = 16 – 16 = 0, D = 0,

отже, рівняння має два однакових  кореня:

 

Відповідь:  – 0,5.

Если D > 0, то рівняння має два різних кореня:

 

 

2x2 + 3x + 1 = 0;

D = 9 – 8 = 1;

Відповідь:  – 0,5; – 1.

Для квадратного рівняння ах2 + 2kx + с = 0, у якого другий коефіцієнт – парне число, формулу коренів зручно записати так:

Теорема Вієта

У наведеному квадратному рівнянні х2 + bx + c = 0

х1 + х2 = – bx1 × x2 = c.

3х2 + 8х – 3 = 0;

D1 = 16 + 9 = 25;

 

х2 – 5х + 6 = 0;

х1 + х2 = 5;

х1 × х2 = 6;

х1 = 3;  х2 = 2.

Відповідь: 2; 3.

Означення Приклади
Рівняння видуах4 + bx2 + с = 0, где а ¹ 0,

b ¹ 0 називається біквадратним рівнянням.

2х4 + 3х2 + 4 = 0.
Формула розкладання квадратного тричлена на множники:

ах2 + bx + с = а (хх1)(хх2).

2х2х – 3 = 2 (хх1)(хх2);

2х2х – 3 = 0;

х1 = 1,5;  х2 =  – 1.

2х2х – 3 = 2 (х – 1,5)(х + 1).

 

Розв’язати рівняння (х2 + 3)2 – 14(х2 + 3) + 24 = 0.
Розв’язання.

Введемо нову змінну:

тоді отримаємо рівняння:

за теоремою Вієта маємо:

 

у = х2 + 3,

у2 – 14у + 24 = 0;

у1 = 12;  у2 = 2, отримаємо:

х2 + 3 = 12;  х2 + 3 = 2,

х2 = 9;  х2 = – 1 – немає коренів.

х1 = 3   х2 = – 3

Відповідь:  – 3; 3.
Розв’язати рівняння
Розв’язання.

Запишемо у вигляді:

 

Зведемо до спільного знаменника:

 

спростимо:

 

 

 

 

Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник – нуль, а знаменник відмінний від нуля.

Маємо:

 

 

 

х = – 1 – сторонній корінь.

Відповідь: 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Прикріплені файли

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

buy steroids

Home health

Oxandrolone cycle for women anavar control with Buy methenolone enanthate in australia one Equipoise before Oxymetholone cycle for women anadrol tablets Testosterone enanthate dosage test enanth dosage Trenbolone acetate before and after extreme weight Buy nandrolone decanoate online high deca Dianabol buy in australia juicy burger patties are Anapolon pills for sale what you need to know Sustanon 250 pills for sale the sust 250 folding