Заняття 13. Рівняння

Дана публікація містить означення рівняння, кореня рівняння, розглядаються лінійні і квадратні рівняння з прикладами розв’язання та практичною частиною.

Заняття 13. Рівняння

Рівняння і його корені.

   Рівняння - це рівність, що містить змінну.

Корінь рівняння – це значення змінної, при якому рівняння перетворюється на вірну рівність.

Розв’язати рівняння – означає знайти його корені або довести, що їх немає.

Рівносильні рівняння – це рівняння, які мають одні і ті ж коріння.

Деякі властивості рівнянь.

   У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки.

Якщо з однієї частини рівняння перенести доданки в іншу частину і поміняти при цьому знаки доданків на протилежні, отримаємо рівняння, рівносильне даному.

При діленні (множенні) обох частин рівняння на одне і те саме число, отримаємо рівняння, рівносильне даному

Лінійне рівняння

Означення Приклади
Рівняння виду ах = b, де х – змінна, а і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням. 4 – 5х = 6 – 2(х + 2),

використовуючи властивості рівнянь:

4 – 5х = 6 – 2х – 4,

– 5х + 2х = 6 – 4 – 4,

Розв’язування лінійних рівнянь
аx + b = 0;

ax = – b.

5х + 4 = 0;

5х = – 4.

a = 0;  0х = – b – немає коренів.  b ¹ 0 0х = – 10

немає коренів,      – 10 на 0 розділити неможливо

a = 0; b = 0. 0 × х = 0 – безліч коренів 7х = 7х

7х – 7х = 0

0х = 0,           х – будь-яке число.

a ¹ 0, b = 0,  єдиний корінь. 2х = 0,  х = 0.

 

Квадратні рівняння

Означення Приклади
Рівняння виду ах2 + bx + с = 0, де х – змінна; а, b, с – деякі числа, а ¹ 0, називають квадратним рівнянням, а – перший коефіцієнт, b – другий, с – вільний член. 2х2 + 3х – 1 = 0;

х2 – 2х + 4 = 0.

Якщо в цьому рівнянні хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю, то дане рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:1) ах2 = 0;     2) ах2 + bx = 0;    3) aх2 + с = 0.
1) ах2 = 0, якщо b = 0, с = 0;

х2 = 0;

х = 0

рівняння має тільки один корінь.

5х2 = 0;

х = 0.

Відповідь: 0.

 

 

 

 

Означення Приклади
2) Якщо с = 0, ах2 + bx = 0;

х(ах + b) = 0;

рівняння завжди має два кореня.

4х2 + 3х = 0;

х(4х + 3) = 0;

х = 0  или  4х + 3 = 0;

 

3) Якщо b = 0, ах2 + с = 0;

 

а) якщо         > 0,

 

то рівняння завжди має два кореня

б) якщо       < 0, то рівняння не має коренів.

 

9х2 – 4 = 0;

16х2 + 9 = 0;

Немає коренів.

Відповідь: Немає коренів.

Якщо а = 1, то квадратне рівняння називають зведеним. х2х + 30 = 0.
Повні квадратні рівняння ах2 + bx + с = 0, а ¹ 0, розв’язуємо за формулою:
Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних коренів. 2х2 + 5х + 6 = 0;

D = 25 – 48 = – 23;

D < 0, отже рівняння не має дійсних коренів.

Якщо D = 0, то рівняння має два однакових кореня:

                    х1 = х2 =

4х2 + 4х + 1 = 0;

D = 16 – 16 = 0, D = 0,

отже, рівняння має два однакових  кореня:

 

Відповідь:  – 0,5.

Если D > 0, то рівняння має два різних кореня:

 

 

2x2 + 3x + 1 = 0;

D = 9 – 8 = 1;

Відповідь:  – 0,5; – 1.

Для квадратного рівняння ах2 + 2kx + с = 0, у якого другий коефіцієнт – парне число, формулу коренів зручно записати так:

Теорема Вієта

У наведеному квадратному рівнянні х2 + bx + c = 0

х1 + х2 = – bx1 × x2 = c.

3х2 + 8х – 3 = 0;

D1 = 16 + 9 = 25;

 

х2 – 5х + 6 = 0;

х1 + х2 = 5;

х1 × х2 = 6;

х1 = 3;  х2 = 2.

Відповідь: 2; 3.

Означення Приклади
Рівняння видуах4 + bx2 + с = 0, где а ¹ 0,

b ¹ 0 називається біквадратним рівнянням.

2х4 + 3х2 + 4 = 0.
Формула розкладання квадратного тричлена на множники:

ах2 + bx + с = а (хх1)(хх2).

2х2х – 3 = 2 (хх1)(хх2);

2х2х – 3 = 0;

х1 = 1,5;  х2 =  – 1.

2х2х – 3 = 2 (х – 1,5)(х + 1).

 

Розв’язати рівняння (х2 + 3)2 – 14(х2 + 3) + 24 = 0.
Розв’язання.

Введемо нову змінну:

тоді отримаємо рівняння:

за теоремою Вієта маємо:

 

у = х2 + 3,

у2 – 14у + 24 = 0;

у1 = 12;  у2 = 2, отримаємо:

х2 + 3 = 12;  х2 + 3 = 2,

х2 = 9;  х2 = – 1 – немає коренів.

х1 = 3   х2 = – 3

Відповідь:  – 3; 3.
Розв’язати рівняння
Розв’язання.

Запишемо у вигляді:

 

Зведемо до спільного знаменника:

 

спростимо:

 

 

 

 

Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник – нуль, а знаменник відмінний від нуля.

Маємо:

 

 

 

х = – 1 – сторонній корінь.

Відповідь: 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Прикріплені файли

Напишіть відгук

Ваша пошт@ не публікуватиметься. Обов’язкові поля позначені *